¿Radical local soluble?

Question

Un grupo de $G$ a nivel local es solucionable, si todos los finitely generado subgrupos son solucionable.

Un grupo de $G$ es localmente finito si todos finitely generado subgrupos son finito.

Un grupo de $G$ es prácticamente localmente solucionable si tiene un local solucionable subgrupo de índice finito.

Vamos a ser $R(S)=\left\langle T\,;\,T\trianglelefteq G\,,\,T\text{ locally solvable }\right\rangle$

Mi pregunta son:

1)Es $\,R(S)\,$ locales solucionable?

2) Si 1) es verdadera: $G$ localmente finito, $R(S)$ locales solucionable y $G/R(S)$ casi localmente solucionable $\Rightarrow G$ prácticamente localmente solucionable?

Answer 1

No, no es necesario local soluble su grupo $R(S)$. Un contraejemplo debido a P. Hall se describe en la «Finitud condiciones y generalizado Soluble grupos» parte 2 de Robinson. Ver el desarrollo y la prueba del teorema 8.19.1 en página 91 (y el corolario).