Es constante para algunos reales $\frac1p(\sin^px+\cos^px)-\frac1q(\sin^qx+\cos^qx)$$p$ y $q$.

Question

Sabemos que para % $ $$f(x)=\dfrac14(\sin^4x+\cos^4x)~;~g(x)=\dfrac16(\sin^6x+\cos^6x)$$f(x)-g(x)=\dfrac{1}{12}$. Mi pregunta es

¿Hay otros % real $p$y $q$ tal que $$f(x)=\dfrac1p(\sin^px+\cos^px)~;~g(x)=\dfrac1q(\sin^qx+\cos^qx)$ $ darnos $f(x)-g(x)=C$ $C$ real constante?

Tenía una idea pero no eran útiles. Gracias.

Answer 1

Deje $k \geqslant 1$ ser un número natural y dejar que $$ f_k(x)=\frac 1k \left( \cos^k x+\sin^k x\right). $$ Es fácil ver que si $k \geqslant 5,$ $$ f_k^{(4)}(0)=3k-2 $$ (matemáticas software puede ayudar un poco aquí). Además, $$ f_1^{(4)}(0)=1, f_2^{(4)}(0)=0, f_3^{(4)}(0)=7, f_4^{(4)}(0)=16. $$ Así vemos que cuando $k < m$ son números naturales, entonces $$ f_k^{(4)}(0)=f_m^{(4)}(0) \iff (k,m)=(4,6). $$

Answer 2

Sí, $p=q=2$, desde entonces: $$f(x)=\tfrac12(\sin^2x+\cos^2x)=\tfrac12=g(x)$ $ y así $f(x)-g(x)=0$.

Answer 3

Si tenemos en cuenta la derivada de $f(x)-g(x)$, a continuación, en orden a ser constante, el resultado debe ser igual a 0. Así que después de hacer algunas operaciones $$sin^{q-2}(x)[1-sin^{p-q}(x)]=cos^{q-2}(x)[1-cos^{p-q}(x)]$$ Por lo tanto, si es igual a 0 en cualquier valor, tomar el seno y el coseno de $30$ grados y llamando $q-2=a$ $p-q=b$ después de algunas operaciones: $$2^b=\frac{\sqrt{3}^{a+b}-1}{\sqrt{3}^{a}-1}$$ Desde ambos lados deben ser números enteros positivos valores enteros de a y b, a continuación, $a=2n$ $b=2m$ estudiar el resultado de la única posible entero solución de que es $n=1$ $m=1$ por lo tanto $q=4$$p=6$, lo que sabemos que funciona.

Answer 4

Que $p,q$ ser enteros. Si $p=q$, uno no tiene nada que hacer. Supongamos que $p<q claramente="" constante="" desde="" el="" entonces="" f="" h="" lo="" luego="" por="" que="" si="" supongamos="" tanto="" x="" x-="" y="">2$. Que $x=\frac{\pi}{4}$ y entonces uno tiene $$ (\frac{\sqrt{2}}{2})^{p}=\frac{q-2}{p-2}(\frac{\sqrt{2}}{2})^{q}$$ o $$ 2^{\frac12(q-p)}=\frac{q-2}{p-2}. $ $ Let $p-2=2m,q-2=2n$ ($m<n cuales="" de="" entonces="" los="" tiene="" uno="" y="">0$). Así $$ 2^{m(2^r-1)}=2^r$ $ o $$ m(2^r-1)=r. $ $ observando si $r>1$, $2^r-1>r$ y por lo tanto, $m(2^r-1)>r$, uno debe tener $r=1$ y $m=1,n=2$. Así $p=4,q=6$.</n></q>