$\det(A \otimes B - B \otimes A) = 0$ ¿por qué? ¿Por qué $rk(M) = n^2-n$? ¿Por qué x y - x en Spec(M)?

Question

Vamos $A$, $B$ ser $n\times n$ matrices.

Parece $\det(A \otimes B - B \otimes A) = 0$.

Por otra parte parece que el núcleo de $A \otimes B - B \otimes A$ contiene $n$ vectores.

Aquí es el código de MatLab para comprobar:

n=4; a=randn(n,n);b=randn(n,n);enfermedad vesicular porcina(kron(a,b)-kron(b,a))

Usted va a ver que son exactamente n ceros en la enfermedad vesicular porcina, por lo que el rango es n^2-n, para genéricos de matrices.

Esto debería ser muy simple, pero no veo por qué ..

[EDITAR]. Si las matrices a,B conmutan y conjunta eigenbasis $v_i$. A continuación, $v_i\otimes v_i$ generar el kernel.

David Speyer siempre la respuesta correcta, que yo acepto. La respuesta dada antes de que está mal. AoB-BoA (xoy+yox)=AxoBy+AyoBx -BxoAy - ByoAx no es cero no significa de ninguna manera. Por otra parte, si fuera cierto el kernel sería n(n-1)/2 dimensiones. Sin embargo es n-dimensional, normalmente, como puede ser visto por medio de experimentos. [EDITAR].

[EDIT 2 ]. Observación adicional distinto de cero autovalores de $M= A \otimes B - B \otimes A$, viene en pares: x y -x.

¿Cómo explicar ?

[EDITAR]

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[EDIT 2]

Aquí hay algunos numertical ejemplo

n=2; a=diag(rand(n,1)); b=rand(n,n), m= kron(a,b)-kron(b,a), [v, d]=eig(m), diag(d)

a =

0.4494         0
     0    0.6596

b =

0.7532    0.0292
0.8047    0.7798

m =

     0    0.0131   -0.0131         0

0.3617   -0.1464         0   -0.0192

-0.3617 0 0.1464 0.0192

     0   -0.5308    0.5308         0

v =

0.0232   -0.0232    0.0531   -0.0007

-0.3305 -0.0711 0.0000 -0.1309

0.0711    0.3305   -0.0000   -0.1309

-0.9409 0.9409 0.9986 0.9827

d =

-0.2265 0 0 0

     0    0.2265         0         0

     0         0    0.0000         0

     0         0         0    0.0000

ans =

-0.2265 0.2265 0.0000 0.0000

[editar]

La motivación viene de esta pregunta en MO, c1=, c2=b:

http://mathoverflow.net/questions/97036/relaxing-commutativity-for-c1-c2-find-q1-q2-1-c1-c2q1c2-q2c1-2-q1-q20/

Answer 1

Aquí es una prueba para los genéricos $A$$B$. Vamos $v_1$, ..., $v_n$ ser los vectores propios de a $A^{-1} B$, y $\lambda_1$, ..., $\lambda_n$ los autovalores. La definición de $w_i = B v_i$, $A^{-1} w_i = \lambda_i v_i$ o $A v_i = \lambda_i^{-1} w_i$.

Así $$(A \otimes B - B \otimes A) (v_i \otimes v_i) = (\lambda_i^{-1} w_i \otimes w_i) - (w_i \otimes \lambda_i^{-1} w_i) = 0.$$

No es claro para mí exactamente lo que sucede si $A$ a no es invertible, o si $A^{-1} B$ no es diagonalizable, o si algunas de las $\lambda_i$ son cero. Sin embargo, el rango sólo puede ir en la especialización, de modo que el núcleo de $A \otimes B - B \otimes A$ es siempre, al menos, $n$ dimensiones.

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Otra prueba: WLOG $2$ es invertible en el campo base. A continuación, $M$ porta $\mathrm{Sym}^2 V$ $\bigwedge^2 V$(ambos considerados como los subespacios de $V \otimes V$) y viceversa. Desde $\dim \mathrm{Sym}^2(V) = \dim \bigwedge^2 V + n$, el mapa de $\mathrm{Sym}^2 V$ $\bigwedge^2 V$debe tener el kernel de dimensión al menos $n$.

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Con respecto a la simetría del espectro, vamos a $\sigma$ ser el mapa de $V \otimes V \to V \otimes V$ que cambia el tensor de factores. A continuación,$\sigma M = - M \sigma$, lo $M$ es conjugado a $-M$. Por lo $\mathrm{Spec}(M) = - \mathrm{Spec}(M)$, como se desee.

Answer 2

Edit: No es el apperently un error. Voy a tratar con este día de hoy/en el fin de semana.

Como un mapa de espacios vectoriales $A\otimes B-B\otimes A$ no es nada, pero el mapa $$V\otimes V\to V\otimes V$$ que envía $$x\otimes y\mapsto A(x)\otimes B(y)-A(y)\otimes B(x)$$ Claramente este mapa tiene un no-trivial núcleo desde la $x\otimes y+y\otimes x$ es enviado a cero para todos los $x,y$. Por lo tanto, el determinante es cero.

Para tu segunda pregunta: Esto no puede ser del todo correcta. Tomemos, por ejemplo, $A=B$ y el kernel tiene dimensión $n^2$. Un límite inferior para la dimensión del núcleo es dado por $\binom n2$, ya que esta es la dimensión del subespacio generado por los vectores anteriores.

Quiero suponer que usted debe recibir el límite inferior $\binom n2$ más del tiempo que te tome las matrices aleatorias que son densos y no singular con probabilidad 1.