Resolver $\sin2x +\sin x = 0$ algebraicamente

Question

Estoy estudiando para un final y me encontré con una pregunta de repaso que no tengo ni idea de cómo hacer. La pregunta es "Resuelve la ecuación $\sin(2x) + \sin(x) = 0$ en el intervalo $[0, 2\pi)$ .

Puedo graficarlo y obtener las soluciones $0, 2\pi/3, \pi$ y $4\pi/3$ donde se cruza el cero entre $0$ y $2\pi$ . Mi pregunta es ¿cómo se hace algebraicamente?

Answer 1

Bien, voy a escribir algo más. Usando la fórmula de la suma al producto,

$$\begin{align*} \sin 2x + \sin x &= 0 \\ 2\sin\frac{3x}2\cos\frac{x}{2} &= 0\\ \sin\frac{3x}2 &= 0&\text{or}& &\cos\frac{x}{2} &= 0\\ \end{align*}$$ Desde $x\in[0,2\pi)$ , $\frac{3x}2\in[0,3\pi)$ y $\frac x2\in[0,\pi)$ . Así que el primer caso da $$\frac{3x}2 = 0 \text{ or }\pi \text{ or }2\pi$$ Y el segundo caso da

$$\frac{x}2 = \frac\pi2$$

Answer 2

Reescribiendo la ecuación utilizando la identidad de doble ángulo para $\sin$ da $$2 \sin x \cos x + \sin x = 0,$$ y la factorización da $$(2 \cos x + 1) \sin x = 0.$$ Esto es así si $$2 \cos x + 1 = 0 \qquad \text{or} \qquad \sin x = 0.$$

Las soluciones de la primera ecuación son $\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}$ y las soluciones de la segunda son $0, \pi$ .

Answer 3

Primero date cuenta de que $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $ . Entonces, tenemos $$ 2 \sin x \cos x + \sin x = 0 \iff \left( 2 \cos x + 1 \right) \cdot \sin x = 0, $$ que es ture si $ \cos x = - \frac {1}{2} $ o $ \sin x = 0 $ . ¿Puedes resolver cada ecuación y encontrar la familia de soluciones a partir de aquí?

Answer 4

También se puede reescribir la ecuación en forma compleja: $$\frac{1}{2i}(e^{2 i x} - e^{-2 i x}) + \frac{1}{2i}(e^{i x} - e^{-i x}) = 0.$$ Multiplicando por la cantidad (nunca nula) $2 i e^{2 i x}$ da $$e^{4ix} + e^{3ix} - e^{ix} - 1 = 0. \qquad (\ast)$$ El lado izquierdo es sólo el polinomio $$z^4 + z^3 - z - 1 = (z + 1)(z^3 - 1)$$ evaluado en $e^{ix}$ , por lo que las soluciones son las siguientes $x$ para lo cual $e^{ix} = -1$ , a saber $x = \pi$ y aquellos para los que $e^{ix}$ es una tercera raíz de la unidad, a saber, $x = 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ .

Answer 5

$$\sin2x=-\sin x=\sin(-x)$$

$$\implies2x=n\pi+(-1)^n(-x)$$ donde $n$ es un número entero cualquiera

Si $n$ está en paz, $=2m$ (decir) $$2x=2m\pi-x\iff x=\frac{2m\pi}3$$

Si $n$ es impar, $=2m+1$ (decir) $$2x=(2m+1)\pi+x\iff x=(2m+1)\pi$$