¿Existe una identidad para cos(ab)?

Question

Sé que hay una identidad trigonométrica para $\cos(a+b)$ y una identidad para $\cos(2a)$ pero ¿existe una identidad para $\cos(ab)$ ?

$\cos(a+b)=\cos a \cos b -\sin a \sin b$

$\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a$

$\cos(ab)=?$

Answer 1

No, y hay una razón precisa.

En primer lugar, la definición geométrica de $\cos$ habla de ángulos, y el producto de dos ángulos no tiene sentido.

Además, cuando ves el coseno como una función compleja exponencial, como sabes $$\cos{x}= \frac{ e^{i x} + e^{-i x}}{2} $$ puedes ver que las identidades que citaste provienen de propiedades de las potencias, como $e^{a+b}=e^a e^b$ o $e^{2a} = (e^a)^2$

Como no hay una fórmula significativa para $e^{ab}$ no hay ninguno para el $\cos$ también.

Answer 2

Si $a$ es un número entero y $b$ es un ángulo,

$$\cos(ab) = T_a(\cos b)$$

donde $T_n(x)$ es el $n^{th}$ Polinomio de Chebyshev.

Answer 3

En realidad no, pero supongo que esto funciona: $$\cos ab=Re[(\cos(b)+i\sin(b))^a]$$

Puedes obtener la ecuación anterior tomando la parte real de la fórmula de De Moivre: $$\cos n\theta +i\sin n\theta=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n \,$$

Answer 4

En general $a$ y $b$ no podemos escribir $\cos (ab)$ en términos de las funciones trigonométricas $\cos a,\sin a, \cos b, \sin b$ . Esto se debe a que las funciones trigonométricas son periódicas con período $2\pi$ Así pues, si se añade $2\pi$ a $b$ no cambia ninguna de estas funciones. Pero añadir $2\pi$ a $b$ puede cambiar $\cos (ab)$ - por ejemplo, si $a=1/2$ , si envía $\cos (ab)$ a $-\cos(ab)$ . Sólo si $a$ es un número entero podemos evitar este problema.

Answer 5

Como muchos expertos ya señalaron aquí, un argumento de cos(⋯) es un ángulo, y una estructura matemática sensata sobre los ángulos es la de grupos abelianos en "+". Podemos sumar y restar ángulos, así como multiplicarlos por números enteros. Hasta cierto punto podemos multiplicar ángulos por números racionales, es decir, resolver ecuaciones como $$ qx = pa,\quad x,a\text{ are angles, }\ p,q\in{\mathbb Z},\ q≠0.$$ Si $a$ se especifica módulo 2π radianes, entonces tales soluciones, colocadas en el círculo trigonométrico, formarán un conjunto de $q$ elementos (vértices de un regular $q$ -gon), que puede describirse con una ecuación algebraica.

No existe una multiplicación "razonable" de un ángulo y un número irracional $t$ . Si $a$ se especifica módulo 2π radianes (que es una condición típica), entonces los posibles valores de $ta$ formará un subconjunto denso del círculo trigonométrico, y por lo tanto los valores de las funciones trigonométricas en él no tendrán ninguna utilidad para los cálculos.

Conclusión:

Hay identidades trigonométricas para productos de un ángulo y un número racional; ver otras respuestas y esta página para algunos casos parciales.

Hay ningún producto de un ángulo y un número irracional Así como hay ningún producto de dos ángulos .