Estaba leyendo sobre el teorema de la incompletitud de Gödel, que es cierto para cualquier teoría formal que cumple ciertas propiedades. Una de estas propiedades es la siguiente: "La teoría se supone que para ser eficaz, lo que significa que el conjunto de axiomas deben ser recursivamente enumerable.". También me han dicho que el teorema de la incompletitud de Gödel mantener para cualquier sistema axiomático lo suficientemente grande como para ser capaz de expresar elementales de la aritmética. (Es este porque asumimos la teoría de tener una firma que especifique la no-lógica de los símbolos en el lenguaje de dicha teoría, como '0' o '+'? )
Pero, evidentemente, si nuestra suposición es falsa, de tal manera que nuestra teoría no es eficaz, el teorema de Gödel no sería aplicable. Entonces, no podemos crear un sistema axiomático que define la Aritmética, pero no es eficaz? Si es así, podría ser completa y coherente al mismo tiempo, ¿verdad?. ¿Por qué hemos de suponer que la teoría es eficaz? ¿Por qué es tan importante? En este caso, ser efectivo equivalente a tener una lista finita de axiomas?
