¿Por qué conmutar la integral y la parte imaginaria?

Question

Tengo muchas veces encontrados (y yo mismo) la siguiente técnica:

$$\int \sin x \mathrm{d}x = \int \operatorname{Im}(e^{ix}) \mathrm{d}x = \operatorname{Im} \left( \int e^{ix} \mathrm{d}x \right) = \operatorname{Im}( -ie^{ix}) + C = -\cos x + C$$

No sólo en este caso, pero he utilizado este tipo de transformar muchas veces, instintivamente, para resolver muchos de esos monstruo de las integrales trigonométricas (y funciona como un milagro), pero nunca están justificadas.

Por qué y cómo es este intercambio de integral y la parte imaginaria justificado?

Al principio, pensé que podría ser siempre así que podemos hacer un tipo de intercambio en cualquier lugar, así que, he intentado lo siguiente: $\operatorname{Im}(f(z)) = f(\operatorname{Im}(z))$. Pero esto claramente no es cierto, ya que el lado izquierdo es siempre real, pero RHS puede ser, posiblemente, demasiado complejo.

Segundos pensamientos. Me di cuenta de que estamos tratando con los operadores de aquí y no de las funciones de verdad. Ambos integral e imaginaria son los operadores. Así que tenemos una composición de operadores y estamos dispuestos a comprobar la hora de hacer estos operadores de viaje? Yo realmente no podía hacer más conclusiones a partir de aquí y estoy pegado a las siguientes preguntas:

Cuándo y por qué razón es la siguiente verdad: $\int \operatorname{Im}(f(z)) \mathrm{d}z= \operatorname{Im} \left( \int f(z) \mathrm{d}z \right)$? (Siempre que $f$ es integrable)

Es siempre verdadera? (Porque como lo he utilizado muchas veces y nunca se ha encontrado ningún contraejemplo)

Edit : no estoy familiarizado con la integración de valores complejos de funciones, pero lo que tengo en mente es que mientras se hace tal cosa, tiendo a pensar que de $i$ tan sólo como una constante (Ah! Espero que esto no suena muy raro), como dije en el ejemplo en el principio. Para ser más precisos, tengo algo de como esta en mi mente: debido a un complejo de valores de la función $f(z)$ puede ser considerado como $f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$ donde $u$ $v$ son reales-valores de funciones, y ahora podemos usar nuestra definición para la integración real de las funciones con valores como $$\int f(z) \mathrm{d}z = \int (u(x,y) + iv(x,y)) \mathrm{d}(x+iy) = \left(\int u\mathrm{d}x - \int v\mathrm{d}y\right) +i\left(\int v\mathrm{d}x + \int u\mathrm{d}y\right)$$

Answer 1

Siempre se puede escribir $f = \operatorname{Re}(f)+i\operatorname{Im}(f)$. Luego, por la linealidad $\int f = \int \operatorname{Re}(f)+i\int \operatorname{Im}(f)$. Pero este es claramente el único descomposición de $\int f$ en su real y la parte imaginaria, puesto que tanto $\int \operatorname{Re}(f)$ $\int \operatorname{Im}(f)$ son números reales, por lo tanto debemos tener $\operatorname{Re}\int f = \int \operatorname{Re}f$ y lo mismo para la parte imaginaria.

Esta es la forma en que un caso especial de los siguientes más general observación:

Si $E,F$ son complejos de Banach celosías y $T:E\to F$ es un verdadero operador, es decir, la asignación de elementos reales con elementos reales, a continuación,$T\circ \operatorname{Re} = \operatorname{Re}\circ T$. Positivo Operadores son un caso especial de la real operadores y su pregunta es un caso especial, si establecemos $E = L^1, F=\mathbb C, T=\int$.