La siguiente es una tarea pregunta:
Deje $P(x)$ ser un polinomio con coeficientes enteros y $P(x_1)=P(x_2)=P(x_3)=P(x_4)=P(x_5)=P(x_6)=P(x_7)=7$ donde $x_i$ son distintos números enteros. Determinar si $P(x)$ ha entero ceros.
Nunca he hecho preguntas como esta antes. Empecé con esto:
Si $\deg(P) = 7$,
$$P(x)=\alpha(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)(x-x_7)+7$$
donde $\alpha$ es un número entero.
Sin embargo, la cuestión no indica que el polinomio debe ser de los de séptimo grado. Incluso entonces, no veo cómo puedo determinar si $P(x)$ ha entero ceros sin conocer todos los $x_i$.
Por favor alguien puede ayudarme? Gracias.
Editar: Es esta una solución válida? $$P(x)=Q(x)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)(x-x_7)+7$$
Si $P(n)=0$, $$Q(n)(n-x_1)(n-x_2)(n-x_3)(n-x_4)(n-x_5)(n-x_6)(n-x_7)=-7$$
donde $Q(x)$ es un polinomio de coeficientes enteros (por lo $Q(n)$ es un número entero)
Y puesto que todos los términos en el lado izquierdo son enteros y el $x_i$ son distintos números enteros, se deduce que algunos de los factores en el lado izquierdo $\ne$ {$\pm 1, \pm 7$}. Y $7$ es un número primo, por lo tanto, $n$ no puede ser cero.
