Alguien me puede dar consejo cómo probar que una función $f:X\rightarrow Y$ y $B\subseteq X$ tenemos $$f(B)=\emptyset \Rightarrow B=\emptyset \ ?$ $
¿Es mi idea de que, suponiendo que $x\in B\neq \emptyset$, tendríamos que tener, porque $f$ es una función, un $y$ tal que $f(x)=y$ y por lo tanto $y\in f(B)=\emptyset$, que es una contradicción, correcto?
Aquí hay una respuesta un poco más larga. :-)
Un cálculo sencillo muestra que ambas partes son en realidad equivalentes: comenzamos con el lado izquierdo, ampliamos la definición de$\;\cdot[\cdot]\;$ y luego simplificamos. \begin{align} & f[B] = \varnothing \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"basic property of empty set"} \\ & \langle \forall y :: y \not\in f[B] \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of %#%#%"} \\ & \langle \forall y :: \lnot \langle \exists x : x \in B : f(x) = y \rangle \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"simplify: apply DeMorgan to %#%#%"} \\ & \langle \forall y :: \langle \forall x : x \in B : f(x) \not= y \rangle \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"rearrange quantifications -- to prepare for one-point rule"} \\ & \langle \forall x,y : y = f(x) : x \not\in B \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"one-point rule"} \\ & \langle \forall x :: x \not\in B \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"basic property of empty set"} \\ & B = \varnothing \\ \end{align}
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