Evaluar la integral $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a + \sin^2 \theta}$ utilizando el teorema del residuo

Question

Alguien me puede mostrar cómo calcular esta integral con el teorema del residuo:

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a + \sin^2 \theta}d\theta$$

Answer 1

Sugerencia: en primer lugar, como Winther dijo, que $u=4\theta$, que $z=e^{iu},$ $dz=i e^{iu}d\theta=i zd\theta$.

Sabemos que: $$\sin( u)=\frac 1 {2i} (z-\frac 1 z)$ $

Ahora para deshacerse de eso molesto $\sin(4u)$: $$\sin(4 u)=\frac 1 {2i} (z^4-\frac 1 {z^4})$ $

simplificando obtenemos: $$\sin(4u)=\frac{-i(z^8-1)}{2z^4}$ $

Así que la integral se convierte finalmente: % $ $$\frac 1 4\int\dfrac{1}{a+\left( \frac{-i(z^8-1)}{2z^4} \right)^2}\frac{dz}{iz}$de aquí, aplicando el teorema de los residuos debería ser sencillo.

Answer 2

Podemos simplificar el problema por (i) la explotación de la incluso la simetría de el integrando, (ii) el uso de la identidad

$$\sin^2 \theta =\frac{1-\cos 2\theta}{2}$$

y (iii) hacer cumplir la sustitución de $2\theta \to \theta$. Podemos escribir entonces escribir la integral de interés $I(a)$

$$I(a)=\frac12 \int_0^{2\pi}\frac{1}{(2a+1)-\cos \theta}d\theta \tag 1$$

A continuación, nos movemos en el plano complejo y dejando $z=e^{i\theta}$ encontrar que

$$I(a) = i\oint_{|z|=1} \frac{1}{z^2-2(2a+1)z+1}dz$$

Para $a>0$ ($a<-1$), el único polo encerrado en el círculo unitario es

$$z=(2a+1)-2\sqrt{a(a+1)}\,\,\,\,\left(z=(2a+1)+2\sqrt{a(a+1)}\right)$$

Por lo tanto, el residuo de $\frac{1}{z^2-2(2a+1)z+1}$ $a>1$

$$\begin{align} \lim_{z\to (2a+1)-2\sqrt{a(a+1)}}\left(\frac{z-(2a+1)+2\sqrt{a(a+1)}}{z^2-2(2a+1)z+1}\right)=\frac{1}{-4\sqrt{a(a+1)}} \end{align}$$

y para $a<-1$

$$\begin{align} \lim_{z\to (2a+1)+2\sqrt{a(a+1)}}\left(\frac{z-(2a+1)-2\sqrt{a(a+1)}}{z^2-2(2a+1)z+1}\right)=\frac{1}{4\sqrt{a(a+1)}} \end{align}$$

Poniendo todo junto rendimientos para $a>0$ o $a<-1$

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{I(a)=(2\pi i) i\,\text{sgn(a)}\,\frac{1}{-4\sqrt{a(a+1)}}=\text{sgn}(a)\,\frac{\pi}{2\sqrt{a(a+1)}}}$$

NOTA:

Para $-1\le a\le 0$, la integral de interés es divergente.

Answer 3

Aviso, dejó de $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a + \sin^2 \theta}d\theta$ $ $$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2\theta}{a\sec^2\theta + \sec^2\theta\sin^2 \theta}d\theta$ $ $$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2\theta}{a+a\tan^2\theta + \tan^2 \theta}d\theta$ $ $$=\int0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2\theta}{a+(a+1)\tan^2\theta}d\theta$ $, $\tan \theta=t\implies \sec^2\theta d \theta=dt$ $$=\frac{1}{a+1}\int{0}^{\infty}\frac{dt}{\frac{a}{a+1}+t^2}$ $$$=\frac{1}{a+1}\sqrt{\frac{a+1}{a}}\left[\tan^{-1}\left(t\sqrt{\frac{a+1}{a}}\right)\right]_{0}^{\infty}$$ $$=\frac{1}{\sqrt{a(a+1)}}\left(\frac{\pi}{2}-0\right)$ $$$=\frac{\pi}{2\sqrt{a(a+1)}}$ $Hence, tenemos

$$\bbox[5px, border:2px solid #C0A000]{\color{red}{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{a + \sin^2 \theta}=\frac{\pi}{2\sqrt{a(a+1)}}}}$$