Calcule el área de superficie de un sólido de revolución

Question

Tengo que calcular el área de la superficie del sólido de revolución que se produce la rotación de $f: (-1,1) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = 1-x^2$ acerca de la $x$-eje. Yo sé que hay una fórmula: $$S=2 \pi \int_{a}^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}\, \mathrm dx$$ Que funciona muy bien. Sin embargo, no estoy muy cómodo con la integral $$\int_{-1}^1 (1-x^2)\sqrt{1+4x^2}\, \mathrm dx$$ que me tendría que calcular con el fin de llegar a la superficie (he probado a sustituir a $x=\frac{1}{2} \sinh(u)$, pero que no funcionó demasiado bien). Por lo tanto, yo tenía la idea de aplicar Vilano' teorema del centroide. Me enteré de que el centro de gravedad de la zona comprendida entre la parábola y el eje x a a $y=\frac{2}{5}$, por lo tanto, el área superficial del sólido de revolución sería: $$S = 2 \pi \frac{2}{5} \int_{-1}^1 \sqrt{1+4x^2}\, \mathrm dx$$ Pero esto me lleva a un resultado diferente de lo que debería obtener (he calculado el valor de la primera integral con la ayuda de wolframalpha, se trata de ~11...).

¿Qué hice mal? Mi mejor conjetura es que no he entendido Vilano' teorema del centroide, pero ¿cuál es el error? ¿Cómo puedo solucionarlo?

Answer 1

Usted hizo malinterpretar Vilano Teorema. Utiliza el centroide geométrico de la región entre el $1-x^2$ e las $x$-eje, mientras que el Vilano Teorema quiere que usted use el centroide geométrico de la curva de $1-x^2$. El centroide geométrico de este último no es $\frac{2}{5}$ pero (por definición)

$$\frac{\int_{-1}^1 (1-x^2) \sqrt{1+4x^2} dx}{\int_{-1}^1 \sqrt{1+4x^2} dx} \approx 0.59002.$$

Por desgracia, multiplicando este por $2\pi$ veces la longitud de arco sólo le da la integral con el que comenzó. Así que no parece que Vilano Teorema es una ruta más fácil de tomar. También se podría tratar de cambiar a una integral en $dy$, pero dudo que va a ser mejor. Me gustaría tratar de Joe sugerencia en su primera integral.

Para más información sobre la búsqueda geométrica de los centroides de las curvas, vea esto.

Answer 2

Si desea probar la integral original nuevamente, puede usar la sustitución trigonométrica x = 0.5 tan (t). Esto le dará una integral que implica bronceado y sec que se puede resolver.

Answer 3

No estoy muy seguro, pero si recuerdo correctamente, una forma en que puede hacer esto un poco más fácil es notar que$g(x)=(1-x^2)\sqrt{1+4x^2}$ es par$g(-x) = g(x)$ y su rango es de$-a$ a$a$.

Entonces puedes hacer$2\int_0^a g(x)\, dx$

BTW: ¿Alguien puede mostrarme un enlace sobre cómo escribir fórmulas para que aparezcan en formato matemático?