Calcular el área superficial de un sólido de revolución

Question

Tengo que calcular el área superficial del sólido de revolución que se produce al girar $f: (-1,1) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = 1-x^2$ alrededor del eje $x$. Sé que hay una fórmula: $$S=2 \pi \int_{a}^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}\, \mathrm dx$$ Que funcionará muy bien. Sin embargo, no me siento muy cómodo con la integral $$\int_{-1}^1 (1-x^2)\sqrt{1+4x^2}\, \mathrm dx$$ que tendría que calcular para obtener el área superficial (intenté sustituir $x=\frac{1}{2} \sinh(u)$, pero no funcionó muy bien). Por lo tanto, tuve la idea de aplicar el teorema del centroide de Pappus. Primero encontré que el centroide del área entre la parábola y el eje $x$ está en $y=\frac{2}{5}$, por lo tanto, el área superficial del sólido de revolución sería: $$S = 2 \pi \frac{2}{5} \int_{-1}^1 \sqrt{1+4x^2}\, \mathrm dx$$ Pero esto me lleva a un resultado diferente al que debería obtener (calculé el valor de la primera integral con la ayuda de wolframalpha, es aproximadamente ~11...).

¿Qué hice mal? Mi mejor suposición es que malinterprete el teorema del centroide de Pappus, ¿pero cuál es el error? ¿Cómo puedo solucionarlo?

Answer 1

Interpretaste mal el Teorema de Pappus. Utilizaste el centroide geométrico de la región entre $1-x^2$ y el eje $x$, mientras que el Teorema de Pappus te pide que uses el centroide geométrico de la curva $1-x^2$. El centroide geométrico de esta última no es $\frac{2}{5}$ sino (por definición)

$$\frac{\int_{-1}^1 (1-x^2) \sqrt{1+4x^2} dx}{\int_{-1}^1 \sqrt{1+4x^2} dx} \approx 0.59002.$$

Lamentablemente, al multiplicar esto por $2\pi$ veces la longitud del arco, obtienes la integral con la que comenzaste. Así que no parece que el Teorema de Pappus sea una ruta más fácil de tomar. También podrías intentar cambiar a una integral en $dy$, pero dudo que sea mejor. Yo probaría la sugerencia de Joe en tu primera integral.

Para obtener más información sobre encontrar centroides geométricos de curvas, consulta este enlace.

Answer 2

Si quieres intentar de nuevo la integral original, puedes usar la sustitución trigonométrica x = 0.5 tan(t). Esto te dará una integral que involucra tangente y secante que se puede resolver.

Answer 3

No estoy muy seguro, pero si recuerdo correctamente, una forma de facilitar esto es tener en cuenta que $g(x) = (1-x^2)\sqrt{1+4x^2}$ es par $g(-x) = g(x)$ y su rango es de $-a$ a $a$.

Entonces puedes hacer $2 \int_0^a g(x) \, dx$

Por cierto: ¿Alguien puede mostrarme un enlace sobre cómo escribir fórmulas para que aparezcan en formato matemático?

Answer 4

Por la simetría par de la integranda $$ 2\pi\int_{-1}^1 (1-x^2)\sqrt{1+4x^2}dx = 4\pi\int_0^1 (1-x^2)\sqrt{1+4x^2}dx $$ Después de la sustitución $x^2=t$ $$ = 2\pi\int_0^1 \frac{1}{\surd t}(1-t)\sqrt{1+4t}dt $$

$$ = 2\pi\int_0^1 \frac{1+3t-4t^2}{\sqrt{t(1+4t)}}dt . $$

Las antiderivadas individuales son $$ \int \frac{dt}{\sqrt{t+4t^2}} = \frac{1}{2}\log(\frac14+2t+\sqrt{t+4t^2}) ; $$

$$ \int \frac{t}{\sqrt{t+4t^2}}dt = \frac14 \sqrt{t+4t^2}-\frac{1}{16} \log(\frac14+2t+\sqrt{t+4t^2}) ; $$

$$ \int \frac{t^2}{\sqrt{t+4t^2}}dt = (\frac{t}{8}-\frac{3}{64}) \sqrt{t+4t^2} +\frac{3}{256} \log(\frac14+2t+\sqrt{t+4t^2}) ; $$ entonces $$ \int_0^1 \frac{1+3t-4t^2}{\sqrt{t(1+4t)}}dt =\frac{17}{32}\log(2+\surd 5)+\frac{7}{16}\surd 5. $$