$R$ es un dominio único de factorización$\iff$ cada primo mínimo sobre un ideal principal también es principal

Question

Estoy tratando de mostrar que un anillo de $R$ es un único dominio de factorización $\iff$ cada primer mínima más de un director ideal es también el principal.

Creo que la idea es utilizar el director ideal teorema de Krull, pero no sé cómo conectar principal ideal propiedades únicas de la factorización de propiedades del dominio. Sé que "el principal ideal de dominio $\implies$ único de la factorización de dominio", lo que me ayuda si lo pruebo $R$ es director de la segunda declaración, pero que esté tan lejos como puedo ir ahora mismo.

PS: suponga $R$ es un anillo conmutativo con unidad.

Gracias.

Answer 1

"$\Rightarrow$" Si $\mathfrak p$ es mínima más de $(a)$, $\mathfrak p$ contiene un primer elemento $p$ que aparece en la descomposición de la $a$ en números primos. De ello se desprende que $\mathfrak p=(p)$.

"$\Leftarrow$" (Supongo que $R$ es una parte integral de dominio.) El uso de la Kaplansky del Teorema de Ufd: un dominio es un UFD iff cada distinto de cero el primer ideal contiene un valor distinto de cero prime. Deje $\mathfrak q$ ser un no-cero el primer ideal, y $a\in\mathfrak q$, $a\ne 0$. Entonces no es $\mathfrak p$ un alojamiento ideal contenido en $\mathfrak q$ mínimo $(a)$. Desde $\mathfrak p$ que es lo principal, entonces es generado por un primer elemento, por lo $\mathfrak q$ contiene un valor distinto de cero prime.