Tengo dos desigualdades: $|x|\leq\sqrt{x^2+y^2}$ y $|y|\leq\sqrt{x^2+y^2}, \forall x,y \in \Bbb R$ ¿puedo multiplicar estas desigualdades para obtener $|xy|\leq x^2+y^2$ ?
En caso afirmativo, ¿cuál es la justificación? Si no, ¿por qué?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
calas
Puntos
1421
Puedes multiplicar estas desigualdades, porque ambos lados de ambas desigualdades son no negativos. Aquí tienes una explicación:
$$|x| \leq \sqrt{x^2+y^2}$$
$|y| \geq 0$ , por lo que se pueden multiplicar ambos lados por $|y|$ :
$$|xy| \leq |y|\sqrt{x^2+y^2}$$
Pero sabemos que $|y| \leq \sqrt{x^2+y^2}$ y $0 \leq \sqrt{x^2+y^2}$ Así que..:
$$|y|\sqrt{x^2+y^2} \leq \sqrt{x^2+y^2} \times \sqrt{x^2+y^2}=x^2+y^2$$
Finalmente:
$$|xy| \leq |y|\sqrt{x^2+y^2} \leq x^2+y^2$$
La respuesta es sí, porque todo lo que implica ( $|x|$ , $\sqrt{x^2+y^2}$ , $|y|$ ), es positivo.
Para una demostración formal, comience por dejar que $P$ sea el conjunto de los números positivos, que es cerrado bajo la adición y la multiplicación (es decir, si $a$ y $b$ están en $P$ Así es. $a+b$ y $ab$ ), y que $a<b$ media $b-a\in P$ . Demostraremos que
$$0\leq a<b\quad\text{and}\quad 0\leq c<d \implies ac<bd.$$
Firt, ya que $a<b$ , $b-a$ está en $P$ y como $c$ también está en $P$ , $c(b-a)$ está en $P$ . De la misma manera, $b(d-c)$ está en $P$ . La suma da $c(b-a)+b(d-c)=bc-ac+bd-bc=bd-ac$ está en $P$ , por lo que debemos tener $bd>ac\implies ac<bd$ como se desee.
Studer
Puntos
1050
Formalmente, lo que se utiliza es que si se multiplica una desigualdad (no estricta) por un número no negativo, la desigualdad se conserva.
Por lo tanto, si $0\leq a\leq b$ y $0\leq c\leq d$ entonces $ac\leq bc $ (multiplicando la primera desigualdad por $c$ ). Si ahora se multiplica la segunda desigualdad por $b$ , se obtiene $bc\leq bd$ . Así, $$ ac\leq bc\leq bd, $$ y luego $ac\leq bd$ .
Rod Smith
Puntos
36
