El problema dice:
Si$$\lim_{x\to +\infty} \left\lbrack\frac{ax+1}{ax-1}\right\rbrack^x=9$$, determine $ a $.
Parece ser un caso de$\left\lbrack\frac{\infty}{\infty}\right\rbrack^\infty$. ¿Cómo puedo resolver un caso así?
Respuestas
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Dr. MV
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Recuerde que la definición de límite de la función exponencial es
ps
Usando$$e^z=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac zn\right)^n \tag 1$, podemos escribir el límite de interés como
$$ \begin{align} \lim_{x\to \infty}\left(\frac{ax+1}{ax-1}\right)^x&=\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1+\frac{1/a}{x}}{1-\frac{1/a}{x}}\right)^x\\\\ &=e^{2/a} \end {align} $$
Finalmente, tenemos
ps
Esto es definitivamente una pregunta muy interesante. Aquí es lo que yo creo que es una buena manera de pensar. Primero reorganizar la expresión (omitiendo los límites para mayor claridad):
$$\left( \frac{a x + 1 - 2 + 2 }{a x -1} \right)^x = \left( 1 + \frac{ 2 }{a x -1} \right)^x $$
Observe que, en el límite de $x \rightarrow ∞ $, el denominador se reduce a $a x$. Podemos escribir la ecuación como:
$$\lim_{x\to \infty} \left( 1 + \frac{ 2 }{a x -1} \right)^x = 9 $$
o señalando lo que hemos dicho sobre el denominador:
$$\lim_{x\to \infty} \left( 1 + \frac{ 2 }{a x} \right)^x = 9 $$
El LHS es exactamente la definición de $e^{2/a}$, por lo tanto se puede decir que:
$$e^{2/a} = 9$$
de que usted puede encontrar fácilmente que:
$$a = \frac{2}{\ln{9}} = \frac{1}{\ln{(3)}}$$
Espero que esto ayude!
