Prueba de inducción matemática para una ecuación cúbica.

Question

Si $ x^3 = x +1$ demostrar por inducción que $ x^{3n} = a_{n}x + b_n + \frac {c_n}{x}$ , donde $a_1=1, b_1=1, c_1=0$ y $a_n = a_{n-1} + b_{n-1}, b_n = a_{n-1} + b_{n-1} + c_{n-1}, c_n = a_{n-1} + c_{n-1}$ para $n=2,3,\dots $

Para $n=1$ tenemos $x_3 = a_1x + b_1 + \frac {c_1}{x}$ = x + 1 + $\frac{0}{x}$ = x + 1, lo cual es cierto.

Supongamos el caso de $n=k$ es verdadera, por lo que $x^{3k} = a_kx + b_k + \frac{c_k}{x}$

Así que para $n = k+1$ (y utilizando $a_n = a_{n-1} + b_{n-1}, b_n = a_{n-1} + b_{n-1} + c_{n-1}, c_n = a_{n-1} + c_{n-1}$ para $n=2,3,...), $ que tenemos:

$ \begin{align} x^{3(k+1)} &= (a_{k+1-1}x + b_{k+1-1}){x} + (a_{k+1-1} + b_{k+1-1} + c_{k+1-1}) + ( \frac{(a_{k+1-1} + c_{k+1-1})}{x}) \\ &= (a_k + b_k){x} + ( a_k + b_k + c_k) + \frac{(a_k + c_k)}{x} \\ &= a_{k+1}{x} + b_{k+1} + \frac{c_{k+1}}{x} \\\end{align} $

Esta es la misma forma que $ x^{3k} $ pero para n=k+1. Por tanto, si el resultado es cierto para k, también lo es para (k+1).

¿Procederías así o añadirías el $(k+1)$ y demostrar que es igual al $k$ con $n$ (o $k$ ) sustituido por $k+1$ ?

Answer 1

Deberías poner " $=$ "entre cosas que YA SE SABE que son iguales, no con cosas que se intenta demostrar que son iguales. No deberías empezar una cadena de igualdades con la misma igualdad que estás tratando de probar.

Así, \begin{align} x^{3(k+1)} & = x^3 x^{3k} & & \text{(This known, by routine algebra.)} \\[10pt] & = x^3 ( a_kx + b_k + c_k x^{-1} ) & & \text{(This comes from the induction hypothesis.)} \\[10pt] & = (x+1)( a_kx + b_k + c_k x^{-1} ) & & \text{(This is true by hypothesis.)} \\[10pt] & = a_k x^2 + (a_k+b_k)x + (c_k+b_k) + c_k x^{-1} & & \text{(true by routine algebra)} \\[10pt] & = \frac{a_k x^3} x + (a_k+b_k)x + (c_k+b_k) + c_k x^{-1} & & \text{(ditto)} \\[10pt] & = \frac{a_k (x+1)} x + (a_k+b_k)x + (c_k+b_k) + c_k x^{-1} & & \text{(by hypothesis)} \\[10pt] & = (a_k+b_k)x + (a_k + c_k+b_k) + (a_k+c_k) x^{-1} & & \text{(routine algebra again)} \end{align}

Answer 2

La idea básica es que $x^3=x+1$ implica

$$x^2=1+{1\over x}\quad\text{and}\quad x^4=x^2+x=1+{1\over x}+x$$

Así que si $x^{3k}=a_kx+b_k+{c_k\over x}$ entonces

$$\begin{align} x^{3(k+1)}&=x^3\cdot x^{3k}\\ &=x^3(a_kx+b_k+{c_k\over x})\\ &=a_kx^4+b_kx^3+c_kx^2\\ \end{align}$$

Ahora sustituye el $x^4$ , $x^3$ y $x^2$ en la última línea con $1+{1\over x}+x$ , $x+1$ y $1+{1\over x}$ , respectivamente, simplificar, y voilá.

Answer 3

Una pista: Multiplicar $x^{3n} = a_{n}x + b_n + \frac {c_n}{x}$ a la izquierda por $x^3$ y a la derecha por $x+1$ . Reagrupa y deduce una fórmula para $a_{n+1}$ , $b_{n+1}$ , $c_{n+1}$ en términos de $a_{n}$ , $b_{n}$ , $c_{n}$ .