Encuentra el valor máximo

Question

Encuentre el valor máximo$$F(y)=\int_{0}^{y}\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}dx$$ with $ y \ en [0; \: 1] $

Este problema aquí

Answer 1

El valor máximo es$1/3$. Primero, la integral es igual a$1/3$ cuando$y=1$, por lo que el máximo es al menos tan grande. Para ver que la integral nunca es mayor que$1/3$, tenga en cuenta que$$\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}\leq x^2 + y-y^2\quad \text{for $ y \ en [0,1]$},$ $ y, por lo tanto, \begin{align*} \int_0^y \sqrt{x^4+(y-y^2)^2}\,dx &\leq \int_0^y(x^2+y-y^2)\,dx = y^2-{2\over3}y^3.\tag{1} \end {align *}, pero$g(y) = y^2-{2\over3}y^3$ aumenta en$[0,1]$ desde$g'(y) = 2(y-y^2)\geq0$ allí. Entonces$g(y)\leq g(1) = 1/3$ para todo$y\in[0,1]$, y la prueba está terminada por$(1)$.

Answer 2

Lo siento pero creo que lo que dijo DanielV es falso, principalmente porque no tenemos$\int^y f(x)\text{d}x$ pero$\int^y f(x,y)\text{d}x$

Por ejemplo, si tomamos la función$f(x,y) = 1$ si$0 \leqslant y \leqslant \frac 12$ y$f(x,y) = 0$ si$\frac 12 < y \leqslant 1$. Entonces claramente$f(x,y) \geqslant 0$ pero$$F\left(\frac 12\right) =\frac 12 > 0 = F(1)$ $

(si definimos$$F(y) = \int_0^y f(x,y)\text{d}x$ $)

Aunque no he pensado realmente en el ejercicio ... El problema principal es que tenemos una ocurrencia de$y$ en la función para integrar y en el intervalo en el que nos integramos. Tal vez tratar de deshacerse de uno?

Answer 3

Esto es no una respuesta para una tarea problema sino más bien una curiosidad usted podría estar interesado.

La antiderivada tiene una expresión analítica que implica bastante complejo integral elíptica de primera especie. Sin embargo, la integral simplifica y, para 0 < y <1, escribir

y^2 (1 - y) Hypergeometric2F1[-1/2, 1/4, 5/4, -y^2/(1 - y)^2]

En el rango 0 < y < 1, esta función está aumentando continuamente (hay dos puntos de inflexión muy cerca de y=0.4 y=0.7). Para y=1, el valor límite de la función es de 1/3.