Esta es sólo una respuesta parcial (sin embargo, una pregunta que no parece ser posible aquí).
Puesto que usted está mencionando Borel $\sigma$-álgebra, supongo que $X$ es un espacio topológico.
Ampliación de Ross Millikan comentario, Si $X$ tiene una contables base de la $B$, $|\Delta(X)|=\mathfrak{c}$ menos que el único que no está vacía conjunto abierto es $X$. De hecho, en este caso la medida es completamente determinada por sus valores en los conjuntos de la forma $A_1\cap\dots\cap A_k$, $A_i\in B$ (ya que es un $\pi$-sistema de generación de la Borel $\sigma$-álgebra). Pero sólo hay countably muchos de esos conjuntos. Por lo que la cardinalidad es en la mayoría de las $\mathfrak c$. Por otro lado, al menos $\mathfrak c$ por OP. En particular, para cualquier espacio métrico separable con al menos dos elementos, $|\Delta(X)|=\mathfrak c$.
¿Qué se puede decir además de eso, es una pregunta interesante. Decir, si $X$ es un no-espacio métrico separable, entonces, obviamente, $|\Delta(X)|\ge |X|$ (considerando delta medidas en los embarazos únicos), y también se $|\Delta(X)|\ge \mathfrak c$ (a la que sigue de la anterior si aceptamos CH).
Sin embargo, es difícil de acotar $|\Delta(X)|$ desde arriba. Una idea útil es que no puede ser una innumerable colección de conjuntos disjuntos de probabilidad positiva. En particular, la cardinalidad del conjunto de todos los discretas de probabilidad de medidas es en la mayoría de las $(X\times \mathbb R)^{\aleph_0}$ (a cada medida asociamos una secuencia de puntos de $X$ y sus correspondientes pesos), lo que es $\max(\mathfrak c, |X|)$.
Desafortunadamente, no podemos ir mucho más allá de esto con tal argumento. Podríamos escribir que cada punto de $X$ tiene una contables de base de los barrios, y en total hacen una base $B$ de la topología. Pero el argumento anterior fallará, ya que $B$ podría no generar el conjunto de Borel $\sigma$-álgebra (ya que es incontable). Todavía puede ser que los valores de esta medida de probabilidad son completamente determinada por sus valores en algunas contables de la subfamilia de $B$ (ya que, como escribí, no puede ser que hay un incontable la desunión de la familia de conjuntos de medida positiva), pero estoy muy lejos de ser seguro en este.