¿Qué es la noción de ángulo espacial en la relatividad general?

Question

¿Existe una noción de ángulos espaciales en la relatividad general?

Ejemplo: La línea del mundo de un fotón viene dada por $x^{\mu}(\lambda)$ . Supongamos que vuela a mi laboratorio, donde tengo un espejo. Alineo el espejo de tal manera que mido un ángulo recto entre el fotón entrante y el saliente. ¿Cómo puedo calcular ahora la línea de la palabra del fotón saliente?

Por supuesto, he hecho un poco de trampa, ya que sólo he utilizado la vieja noción euclidiana de un ángulo cuando digo "mido un ángulo recto entre el fotón entrante y el saliente". Pero espero que esto esté permitido a nivel local.

Answer 1

Si es un fotón, entonces sabes que $x^{a}x_{a}$ es siempre cero. Has medido la dirección espacial del fotón con tu aparato de espejos, por lo que conoces los valores de la $x^{i}(0)$ en algún momento ${}^{1}$ que llamaremos cero. Además, podemos deducir el valor de $x^{0}$ en este momento del hecho de que $x^{a}x_{a} = 0$ .

Entonces, todo lo que necesitamos es conocer el tensor métrico, y podemos simplemente resolver el conjunto de EDOs dadas por,

$$\frac{\mathrm{d}^2 x^a (\lambda)}{\mathrm{d}\lambda^2} + \Gamma^a_{bc} \, \frac{\mathrm{d} x^b(\lambda)}{\mathrm{d}\lambda} \frac{\mathrm{d}x^c (\lambda)}{\mathrm{d}\lambda} = 0$$

para todas las veces siguientes ${}^{2}$ . Normalmente, esto tendrá que hacerse numéricamente, pero hay algunas soluciones exactas conocidas para casos simplificados. $\lambda$ es el parámetro afín nulo, y el $\Gamma$ son los símbolos de Christoffel, que se definen a partir del tensor métrico. Para el ejemplo familiar de un cuerpo gravitatorio esféricamente simétrico Y para la gravedad débil en movimiento no relativista, la única componente relevante del tensor métrico es $g_{tt} = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)$ y el único símbolo de Christoffel relevante es $\Gamma_{tt}{}^{r} = \frac{M}{r^{2}}$ y nuestra teoría se convierte en la gravedad newtoniana.

${}^{1}$ En este caso, considero que las letras del principio del alfabeto son índices del espaciotiempo, mientras que las letras del medio del alfabeto son sumas sobre sólo los componentes espaciales.

${}^{2}$ Obsérvese que el "tiempo" (dado por $\lambda$ ) aquí no significa realmente tiempo en el sentido propio. Las geodésicas nulas no experimentan ningún movimiento de reloj. Las geodésicas nulas, sin embargo, SÍ trazan un "parámetro afín nulo", que puedes interpretar como el número de geodésicas nulas perpendiculares que cruzan mientras el fotón se mueve.

Answer 2

Como cantidad geométrica, el valor de un " ángulo "se puede determinar y expresar en un sin coordenadas manera:

Dados tres eventos espaciales parejos, " $A$ ", " $B$ " y " $C$ ", y dados los números reales positivos
$\frac{s^2[ A C ]}{s^2[ A B ]}$ , $\frac{s^2[ A C ]}{s^2[ B C ]}$ y $\frac{s^2[ B C ]}{s^2[ A B ]} = \frac{s^2[ A C ]}{s^2[ A B ]} / \frac{s^2[ A C ]}{s^2[ B C ]}$
como cocientes entre los cuadrados de las magnitudes de los intervalos (o longitudes de arco mínimas) entre los pares de eventos,
entonces el valor de "ángulo en $B$ entre $A$ y $C$ "puede expresarse (directamente) como

$\angle [ A B C ] := $ $\text{ArcSin} \left[ \frac{1}{2} \sqrt{ 2 + 2 \frac{s^2[ A C ]}{s^2[ A B ]} + 2 \frac{s^2[ A C ]}{s^2[ B C ]} - \frac{s^2[ B C ]}{s^2[ A B ]} - \frac{s^2[ A B ]}{s^2[ B C ]} - \frac{s^2[ A C ]}{s^2[ A B ]} \frac{s^2[ A C ]}{s^2[ B C ]} } \right];$

o, de forma más general, en términos de cuadrados de las magnitudes de los intervalos (o longitudes de arco mínimas) que implican eventos adicionales " $F$ ", " $G$ " (nombrados en el sentido de variables) que son similares al espacio entre sí, así como a " $A$ ", " $B$ " y " $C$ ", como

$\angle [ A B C ] := \text{Limit}_{\{ F, G \}} {\huge[} $
${\Large \{ } \frac{s^2[ B F ]}{s^2[ A B ]} \rightarrow 0, \frac{s^2[ B G ]}{s^2[ B C ]} \rightarrow 0, $
$2 + 2 \frac{s^2[ B F ]}{s^2[ A B ]} + 2 \frac{s^2[ B F ]}{s^2[ A F ]} - \frac{s^2[ A F ]}{s^2[ A B ]} - \frac{s^2[ A B ]}{s^2[ A F ]} - \frac{s^2[ B F ]}{s^2[ A B ]} \frac{s^2[ B F ]}{s^2[ A F ]} \rightarrow 0, $
$2 + 2 \frac{s^2[ B G ]}{s^2[ B C ]} + 2 \frac{s^2[ B G ]}{s^2[ C G ]} - \frac{s^2[ C G ]}{s^2[ B C ]} - \frac{s^2[ B C ]}{s^2[ C G ]} - \frac{s^2[ B G ]}{s^2[ B C ]} \frac{s^2[ B G ]}{s^2[ C G ]} \rightarrow 0 {\Large \} }; $
$\text{ArcSin} \left[ \frac{1}{2} \sqrt{ 2 + 2 \frac{s^2[ F G ]}{s^2[ B F ]} + 2 \frac{s^2[ F G ]}{s^2[ B G ]} - \frac{s^2[ B G ]}{s^2[ B F ]} - \frac{s^2[ B F ]}{s^2[ B G ]} - \frac{s^2[ F G ]}{s^2[ B F ]} \frac{s^2[ F G ]}{s^2[ B G ]} } \right] {\huge]} . $

Si la región que contiene los eventos $A$ , $B$ y $C$ es plana, entonces estos dos valores de "ángulo" son iguales.