Pregunta sobre los determinantes

Question

Estoy trabajando en algunos problemas de práctica y no estoy seguro de por dónde empezar este problema. Comienza dando $\det(X)= 1$ para la siguiente matriz $X$ : $$ \begin{matrix} a & 1 & d \\ b & 1 & e \\ c & 1 & f \end{matrix} $$ y el $\det(Y)= 4$ para la siguiente matriz $Y$ :

$$ \begin{matrix} a & 1 & d \\ b & 2 & e \\ c & 3 & f \end{matrix} $$

Sabiendo esto, el texto me pedía que resolviera algunas otras matrices, lo que hice con relativa facilidad. Por alguna razón, esta última no puedo resolverla: Encontrar el determinante de: $$ \begin{matrix} a & 5 & d \\ b & 7 & e \\ c & 9 & f \end{matrix} $$

He probado varias reglas e identidades, pero no consigo llegar a esta forma usando múltiplos escalares ni nada parecido.

Muchas gracias por cualquier ayuda/sugerencia/solución.

Answer 1

Aunque las respuestas proporcionadas son correctas, es (muy) importante saber que los determinantes de algunas matrices no son siempre los determinantes de las combinaciones lineales de otras matrices; es decir, es no verdadero para CUALQUIER matrices $A, B, C$ que $$\det(A) = m \det(B) + n \det(C),$$ donde $m,n$ son escalares. Hay una condición para que esa igualdad sea cierta, y afortunadamente las matrices de tu problema cumplen esta condición.

Me imagino que la mayoría de los libros de álgebra lineal tienen una sección relativa a las propiedades de los determinantes, y una que probablemente deberías memorizar dice algo así:

Dejemos que $A, B, C$ sea $n\times n$ matrices que difieren sólo en una fila o columna; llame a esta fila o columna el $i^\text{th}$ fila o columna. Si esto $i^\text{th}$ fila o columna en $C$ se puede obtener sumando múltiplos escalares de $A$ y $B$ entonces es cierto que $\det(A) = m \det(B) + n \det(C),$ donde $m,n$ son escalares.

En tu caso, observa que las matrices difieren en una sola columna, por lo que la igualdad se mantiene.

Answer 2

¿Cómo se escribe $(5,7,9)$ como una combinación lineal de $(1,1,1)$ y $(1,2,3)$ ?

No es difícil ver que es $$ (5,7,9)=3(1,1,1) + 2(1,2,3). $$ Así que $$ \det \begin{bmatrix} a & 5 & d \\ b & 7 & e \\ c & 9 & f \end{bmatrix} = 3\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 1 & e \\ c & 1 & f \end{bmatrix} + 2\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 2 & e \\ c & 3 & f \end{bmatrix}. $$

Answer 3

El determinante es multilineal, es decir, lineal para cada columna. Obsérvese que la segunda columna del determinante deseado es la suma de $3$ veces la segunda columna del primer determinante con el doble de la segunda columna del segundo determinante: por lo tanto, el determinante deseado es $$3\times 1+2\times 4=11$$