Demostrar que $r+x$ es irracional

Question

Si $r$ es racional ( $r$$\ne$$0$ ) y $x$ es irracional, demuestre que $r+x$ es irracional.

Supongamos que $r+x$ es racional. Entonces $r+x=(\frac{p}{q})$ , donde $p$ , $q$ son $\in$ $\mathbb{Z}$ y $p$ y $q$ están en términos mínimos. Entonces tenemos $x=(\frac{p}{q})-r$ = $(\frac{p-rq}{q})$ . Desde $p-rq$ es $\in$ $\mathbb{Z}$ , $x$ es racional. Esto es una contradicción ya que $x$ se supone que es irracional. Por lo tanto, $r+x$ es irracional. QED

Quería probar por contradicción. Sólo quería saber si todo estaba bien.

Answer 1

pista

Obsérvese que si $x+r $ es racional, entonces

$$(x+r)+(-r)=x $$ como suma de dos racionales será racional. $(\Bbb Q $ es un campo $) $ .

Answer 2

Lema la diferencia de dos racionales es racional.

Sí, es cierto, $$\frac ab-\frac cd=\frac{ad-bc}{bd}\in\mathbb Q.$$

Teorema principal :

Si $x+r$ es racional, también lo es $(x+r)-r=x+(r-r)=x$ .

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Nótese que esta prueba requiere la asociatividad de la suma de reales.

Answer 3

En los comentarios se encuentra esencialmente la solución completa, pero le daré una prueba rápida.

Supongamos que $x$ es irracional y que $r$ es un número racional tal que $x+r=s$ es racional. Entonces tenemos una contradicción cuando observamos $x= s-r$ desde $x$ se supone irracional y $s-r$ es racional (la diferencia entre números racionales es racional).

Answer 4

$r$ medios racionales $r=\frac ab$ .

$x$ irracional significa que puede expresarse como un cociente entre números enteros.

Si por contradicción $r+x$ era racional, entonces $r+x=\frac cd$ así $x=\frac cd-r=\frac cd-\frac ab\in\Bbb Q$ así $x$ sería racional, una contradicción.