Una identidad binomial simple

Question

¿Existe una forma sencilla de demostrar que un primo $p$ debe dividir el coeficiente binomial $p^n\choose{k}$ para todos $n\geq 1$ y $1\leq k\leq p^n-1$ ?

Answer 1

$$\binom{p^n}{k} = \frac{p^n (p^n -1) ... (p^n -k+1)}{k!}= \frac{p^n}{k} \cdot \frac{ (p^n -1) ... (p^n -k+1) }{(k-1)!} = \frac{p^n}{k} \cdot \underbrace{\binom{p^n -1}{k-1}}_{\in \mathbb{Z}} $$

$p \Big| p^n$ y porque $k<p^n$ conseguimos que $$p \Big| \binom{p^n}{k}$$ Q.E.D

Answer 2

En esta respuesta se demuestra que el número de factores de $p$ que dividen $\binom{n}{k}$ es $$ \frac{\sigma_p(k)+\sigma_p(n-k)-\sigma_p(n)}{p-1}\tag{1} $$ donde $\sigma_p(n)$ es la suma de los dígitos de la base- $p$ representación de $n$ .

Desde $\sigma_p\!\left(p^n\right)=1$ y $k,p^n-k\ne0$ tenemos que $\sigma_p(k),\sigma_p\!\left(p^n-k\right)\ge1$ . Así, $$ \frac{\sigma(k)+\sigma\!\left(p^n-k\right)-\sigma\!\left(p^n\right)}{p-1}\gt0\tag{2} $$ Por lo tanto, el número de factores de $p$ que dividen $\binom{p^n}{k}$ es mayor que $0$ .

Answer 3

Sólo un rápido comentario a posteriori: si aceptas que $$ (a +b )^{p} \equiv a^p +b^p\pmod p ,$$ para $a$ y $b$ indeterminantes, entonces $$(a+b)^{p^n} = \left(\ (a + b )^p\ \right)^{p^{n-1}}\equiv \left(\ a^p + b^p\ \right)^{p^{n-1}}\equiv a^{p^n}+ b^{p^n}\pmod p,$$ que también da el resultado.

Answer 4

$$\begin{align*}\binom{p^n}{k} = \frac{(p^n)!}{k! (n-k)!} &= \frac{(p^n)(p^n-1)(p^n-2)(p^n-3)\cdots (p^n-(k-1))}{1\cdot 2\cdot 3 \cdots (k-1)k} \\ &= \frac{p^n}{k}\cdot \frac{p^n-1}{1} \cdot \frac{p^n-2}{2}\cdots \frac{p^n-(k-1)}{k-1} \\ &= \frac{p^n}{k} \cdot \prod_{i=1}^{k-1} \frac{p^n-i}{i}.\end{align*}$$ (Nótese que estas fracciones menores no son necesariamente enteras).

Tratamos de demostrar que después de todas las cancelaciones de factores primos, queda al menos un factor de $p$ en el numerador de esta gran fracción.

Considera las fracciones de la forma $\frac{p^n-i}{i}$ . Ahora $p^n-i$ es divisible por $p^j$ si y sólo si $i$ es divisible por $p^j$ para todos $1\leq j\leq n$ . Así que en cada fracción $\frac{p^n-i}{i}$ , todos los $p$ en el numerador y el denominador se cancelan perfectamente. Por lo tanto, en la fracción completa, los únicos $p$ en el numerador son los de $p^n$ y el único que queda $p$ en el denominador (si lo hay) son factores de $k$ . Pero $k<p^n$ Así que $k$ puede tener como máximo $n-1$ factores de $p$ , dejando al menos un sobrante en el numerador.