Terminología de la notación de funciones

Question

Dada la función $f:X\longrightarrow Y$ , $X$ se denomina dominio, mientras que $Y$ se denomina codominio. Pero ¿cómo se llama $f(x)=x^2$ en este contexto, donde $x\in X$ ? Es decir, ¿cómo se denomina la $f(x)$ ¿Notaciones?

Y ya que estoy aquí, ¿cuál es la forma correcta de escribir una función como ésta? ¿Sería $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;f(x)=x^2$ ?

---

Edita:

Pensé en añadir esto para contextualizar un poco el porqué de mi pregunta. Estoy escribiendo un conjunto de notas en LaTeX, y me gustaría utilizar la terminología correcta para la definición de una función.

Una función de conjunto $A$ establecer $B$ denotado por $$f:A\to B;x\mapsto f(x)$$ es un mapeo de elementos del conjunto $A$ (el $\textit{domain}$ ) a elementos del conjunto $B$ (el $\textit{codomain}$ ) utilizando el $\color{blue}{\sf function}$ $f(x)$ . El dominio de una función es el conjunto de todos los elementos válidos a partir de los cuales se puede asignar una función. El codominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles a los que se puede asignar un elemento del dominio. La dirección $\textit{range}$ (a veces denominado $\textit{image}$ ) de una función es un subconjunto del codominio, y es el conjunto de todos los elementos a los que realmente se asigna la función $f$ .

Aquí estoy bastante seguro de que la palabra "función" resaltada no es correcta.

Answer 1

Recuerdo haber leído este texto y haberme preguntado exactamente lo mismo. Por lo que he aprendido de mi profesor, tienes razón, escribir algo como "la función $f(x)$ ..." es una notación descuidada. Sin embargo, muchos libros/personas lo utilizan así.

Si eres muy preciso, $f(x)$ es no una función o un mapa. No conozco una forma estándar de referirse a $f(x)$ pero he aquí algunos usos que he encontrado en Internet:

• En salida de una función $f$ correspondiente a una entrada $x$ se indica mediante $f(x)$ .
• Algunos llamarían " $f(x)=x^2$ " el regla de la función $f$ .
• Para cada argumento $x$ la correspondiente y única $y$ en el codominio se denomina valor de la función en $x$ o la imagen de $x$ en $f$ . Se escribe como $f(x)$ .
• Si existe alguna relación que especifique $f(x)$ en términos de $x$ entonces $f(x)$ se conoce como variable dependiente (y $x$ es una variable independiente).

Una forma correcta de anotar su función $f$ es: $$f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}:x\mapsto f(x)=x^2$$

Tenga en cuenta que $f(x)\in\Bbb{R}$ y $f\not\in\Bbb{R}$ . Pero la función $f$ es un elemento del conjunto de funciones continuas, y $f(x)$ no lo es.

En algunas áreas de las matemáticas es muy importante anotar una función/mapa especificando su dominio, codominio y regla de función. Sin embargo, por ejemplo en cálculo/física, verás que muchas veces sólo la regla de función $f(x)$ ya que se supone que el lector entenderá domain/codmain a partir del contexto.

También puedes consultar esas preguntas:

• En matemáticas escritas, es $f(x)$ ¿una función o un número?
• ¿Cuál es la diferencia entre escribir f y f(x)?

Answer 2

Normalmente se dice $f:X\rightarrow Y$ ; $x\mapsto f(x)$ como función toma un elemento de $X$ y te daré uno de $Y$ . $$y=f(x)$$ Es una ecuación, y no una definición de una función en sentido estricto.

La forma correcta sería $$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}; \ x\mapsto x^2$$

La imagen de una función se define como $$\operatorname{im}f:=\{f(x)|x\in X\}$$ A menudo se escribe como $$f(X):=\{f(x)|x\in X\}$$ Observe que $X$ es un conjunto, no un elemento. así que $f(\{x\})=\{f(x)\}\subseteq Y$ mientras que $f(x)\in Y$

Answer 3

Por lo que tengo entendido, $f$ es la función, por lo que decir "una función $f(x)$ "sería sería erróneo. En su lugar, se podría decir "una función $f$ ", o si no quieres asignarle un nombre, "una función $x\mapsto x^2$ ", o si desea especificar el dominio y el codominio, "una función $f:X\to Y$ ".

Si sólo desea definir la relación entrada-salida de la función, $f(x)=x^2$ es suficiente, tal vez con un $\forall x\in X$ al principio si quieres hacerlo bien. Aunque eso no define necesariamente el dominio, ese conjunto podría ser simplemente un subconjunto del dominio. $f(x)$ en realidad no es diferente de $f(1)$ excepto que $x$ es una variable (cualificada). Es básicamente una regla que define la entrada y la salida para un subconjunto impropio de su dominio.

La adición de " $:X\to Y$ "es útil si quieres especificar tanto el dominio como el codominio al definir la función. Hasta donde yo sé, se puede añadir después de una función como $f$ y toda la expresión sigue haciendo referencia a la función. Realmente no se puede utilizar con el $f(x)$ por lo que haría algo como

$f:\mathbb R\to\mathbb R=x\mapsto x^2$