En el caso de $C(X)$, este es un abelian álgebra, por lo que la imagen bajo una representación $\pi:C(X)\to B(H)$ será abelian. Pero $\pi(C(X))$ es wot denso en $B(H)$ (por la irreductibilidad) lo $B(H)$ es abelian: lo $\dim H=1$.
Tenga en cuenta que $C(X,M_n(\mathbb C))=M_n(C(X))$ (correctamente, hay una identificación, pero si usted piensa acerca de ello, en ambos casos tienes matrices de funciones). Ahora vamos a $\pi:M_n(C(X))\to B(H)$ ser irreductible. Como $X$ es compacto, $C(X)$ es unital. Por lo que la matriz de unidades de $\{E_{kj}\}$ mapa a un sistema de matriz de unidades de $\{F_{kj}\}$$B(H)$. Podemos formar un mapa de $$\pi_0:
C(X)\a M_n(C(X))\F_{11} B(H)F_{11}
$$
por $\pi_0(f)= \pi(f\otimes E_{11})$ (donde $f\otimes E_{11}$ es la matriz con $f$ $1,1$ esquina y ceros en todas partes). Es straighforward para comprobar que $\pi_0$ es una representación. También sucede que $\pi_0$ es irreductible (donde se identifican $F_{11}B(H)F_{11}$$B(F_{11}H)$): para cualquier $X=F_{11}XF_{11}\in F_{11}B(H)F_{11}$, por hipótesis, existe una neta $\{A_j\}\subset M_n(C(X))$ $\pi(A_j)\to X$ wot. También tenemos
$$
X=F_{11}XF_{11}=\lim_jF_{11}\pi(A_j)F_{11}=\lim_j\pi(E_{11}A_jE_{11}).
$$
Así, con la identificación de $C(X)\simeq E_{11}M_n(C(X))E_{11}$, hemos encontrado un neto $\{f_j\}\subset C(X)$ tal que $\pi_0(f_j)\to X$; por lo tanto $\pi_0$ es irreductible. Ahora usando ese $C(X)$ es abelian, llegamos a la conclusión de que $F_{11}H$ es unidimensional. Por lo $F_{11}$ es un rango de-una proyección; y $F_{kk}=F_{1k}^*F_{1k}$ es equivalente a $F_{11}=F_{1k}F_{1k}^*$, por lo que también es unidimensional. A continuación,$H=\mathbb C^n$$B(H)=M_n(\mathbb C)$.
