Prueba matemática de que$m^4+8$ no es un cubo de un entero si$13$ no divide$m$ (prueba de tabla provista)

Question

Mi pregunta es cómo expresar mi solución a $m^4+8$ no es un cubo de un número entero si $13$ no divide $m$ como una prueba matemática.

Entiendo que para demostrar por contradicción, el resultado es ser un cubo de un número entero:

\begin{align} m^4 + 8 & = n^3 \\ m^4 &= n^3 - 8 \\ \therefore m^4 &\equiv n^3-8\pmod{13}\\ \\ \end{align}

Que la equivalencia es sin embargo imposible, debido a la siguiente tabla:

Vemos que $m^4 \equiv n^3-8\pmod{13}$ sólo puede ocurrir cuando m $\equiv 0 \pmod{13}$ y n = 2, 5 o 6.

Esto demuestra que desde $13$ no se puede dividir $m$, $m^4+8$ no es un cubo de un número entero. Ahora estoy seguro de cómo expresar este matemáticamente.

Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Su método es perfectamente bien para esto. Sólo por diversión, me voy a dar un método alternativo en el que se puede hacer con sólo una tabla de cuadrados mod 13.

n     0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
n^2   0  1  4  9  3 12 10 10 12  3  9  4  1

$$m^4+8 \equiv n^3 \mod 13\\ (m^4+8)^4 \equiv n^{12} \mod 13$$ A partir de Fermat poco teorema sabemos que $n^{12}\equiv0,1 \mod 13$, por lo que luego de recibir: $$(m^4+8)^4 \equiv 0,1 \mod 13\\ (m^4+8)^2 \equiv 0,1,12 \mod 13\\ m^4+8 \equiv 0,1,5,8,12 \mod 13\\ m^4 \equiv 0,4,5,6,10 \mod 13$$ Tenga en cuenta que $5$ $6$ no son cuadrados, por lo que ciertamente no son el cuarto poder. $$m^4 \equiv 0,4,10 \mod 13\\ m^2 \equiv 0,2,6,7,11 \mod 13$$ Tenga en cuenta que el único de estos que es un cuadrado es$0$, por lo que nos es justo a la izquierda con $$m^2 \equiv 0 \mod 13\\ m \equiv 0 \mod 13$$

Answer 2

Considere la ecuación de $n^3=m^2+8$. Estos tipos de ecuaciones se llaman Mordell ecuaciones.

Reclamo: El único entero solución a $n^3=m^2+8$ está dado por $m=0, n=2$.

Supongamos que tenemos un número entero solución a $n^3=m^2+8$. (Todas las variables que se introducen tienen valores enteros.)

Supongamos $m$ es incluso, a continuación, $n$ también deben ser, incluso, escribir $n=2x$$m=2m'$, entonces obtenemos $8x'^3=4m'^2+8 \Rightarrow 2x'^3=m'^2+2$, lo $m'$ es incluso, escribir $m'=2y$, obtenemos $2x^3=4y^2+2$, lo $x^3=2y^2+1$

Para determinar las soluciones de $x^3=1+2y^2$, vamos a trabajar en $\Bbb Z[\sqrt{-2}]$, esto es conocido por ser un PID.
$x^3=1+2y^2=(1+\sqrt{-2}y)(1-\sqrt{-2}y)$. Vamos $d=\gcd(1+\sqrt{-2}y,1-\sqrt{2}y)$ $d$ divide $(1+\sqrt{-2}y)+(1-\sqrt{-2}y)=2$. La factorización en primos de $2$$\Bbb Z[\sqrt{-2}]$$2=- \sqrt{-2}^2$, por lo que si $d \neq 1$, hasta un signo de $d$ es $2$ o $\sqrt{-2}$, pero, a continuación,$2 \mid d^2 \mid (1+\sqrt{-2}y)(1-\sqrt{-2}y)=1+2y^2$, lo $2 \mid 1 + 2y^2$, lo cual es imposible debido a $\frac{1+2y^2}{2}=\frac{1}{2}+y^2 \not \in \Bbb Z[\sqrt{-2}]$, con lo que conseguimos que los $d=1$.

Esto significa que $1+\sqrt{-2}y$ $1-\sqrt{-2}y$ no tienen ningún factor primo en común, pero debido a que su producto es de una tercera potencia, deben ser ellos mismos tercer poderes. (Técnicamente, sólo hasta una unidad, pero ya que las únicas unidades de $\Bbb Z[\sqrt{-2}]$$\pm 1$$(-1)^3=-1$, podemos ignorar esto.)

Así tenemos $$1+\sqrt{-2}y=(a+b\sqrt{-2})^3=a^3+3a^2b\sqrt{-2}-6ab^2-2b^3\sqrt{-2}=(a^3-6ab^2)+(3a^2b-2b^3)\sqrt{-2}$$ Now comparing coefficients gives $1=a^3-6ab^2$ and $y=3a^2b-2b^3$ From the first equation, we get $1=a(a^2-6b^2)$ so $= \pm 1$. If $a=-1$, we must have $-1=a^2-6b^2=1-6b^2$, so $-2=-6b^2$, which has no solution. Thus $a=1$ and we get $1=a^2-6b^2=1-6b^2$, so $b=0$, thus means $1+\sqrt{-2}y=1$, so $y=0$. Thus $x^3=1+2y^2=1$, so $x=1$ Pluggin this back into our original equation gives $m=0$, $n=2$.

Ahora llegamos al segundo caso, en el $m$ es impar, entonces $n$ también debe ser impar y llegamos $n^3=m^2+8=(m+2\sqrt{-2})(m-2\sqrt{-2})$
Deje $d=\gcd(m+2\sqrt{-2},m-2\sqrt{-2})$, $d$ divide $m+2\sqrt{-2} - (m-2\sqrt{-2})=4 \sqrt{-2}$. La factorización en primos de $4\sqrt{-2}$ $\sqrt{-2}^5$ por Lo tanto $d=1$ o $\sqrt{-2} \mid d$. En el último caso, obtenemos $-2 = d^2 \mid (m+2\sqrt{-2})(m-2\sqrt{-2})=m^2+8=n^3$, pero esto es imposible, porque la $n$ es impar. Por lo tanto $d=1$ $m+2\sqrt{-2}$ $m-2\sqrt{-2}$ son coprime.
Por el mismo argumento, como en el caso, obtenemos $m+2\sqrt{-2}=(a+b\sqrt{-2})^3=(a^3-6ab^2)+(3a^2b-2b^3)\sqrt{-2}$
Para la comparación de los coeficientes de da $3a^2b-2b^3=2$$m=a^3-6ab^2$, lo $3a^2b=2(1+b^3)$, lo $2 \mid a$ o $2 \mid b$.
Si $2 \mid a$, escribir $a=2a'$, obtenemos $12a'^2b=2(1+b^3)$, lo $6a'^2b=1+b^3$, lo $(6a'^2-b^2)b=1$, lo $b = \pm 1$. Si $b=1$, obtenemos $1=6a'^2-b^2=6a'^2-1$, lo $6a'^2=2$, lo cual es imposible. Si $b=-1$, obtenemos $-1=6a'^2-b^2=6a'^2-1$, lo $0=a'=a$, lo $m=a^3-6ab^2=0$, lo cual es imposible, porque se supone que $m$ es impar.
Si $2 \mid b$, escribir $b=2b'$, obtenemos $6a^2b'-16b'^3=2$, lo $(3a^2-8b'^2)b'=1$, lo $b'= \pm 1$. Si $b'= -1$, obtenemos $-1=3a^2-8b'^2=3a^2-8$, lo $7=3a^2$ que no tiene solución. Si $b'=1$, obtenemos $1=3a^2-8b'^2=3a^2-8$, lo $9=3a^2$, lo $3=a^2$, que no tiene solución. Así que no hay soluciones donde $m$ es impar.

Para ver cómo se relaciona con la pregunta original, tenga en cuenta que si $n^3=m^4+8=(m^2)^2+8$, podemos hacer que la expansión $m \mapsto m^2$, para llegar a una solución a $n^3=m^2+8$. Pero sabemos que a partir de la discusión anterior que la única solución se produce cuando $m=0$, lo que significa, también, $m=0$ en la ecuación de $n^3=m^4+8$. En particular, no hay soluciones donde $13$ no divide $m$.