Mostrando que $ 1 + 2 x + 3 x^2 + 4 x^3 + \cdots + x^{10} = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^2$

Question

Yo estaba estudiando un polinomio y Wolfram|Alpha tenía la alternativa siguiente forma:

$$P(x) = 1 + 2 x + 3 x^2 + 4 x^3 + 5 x^4 + 6 x^5 + 5 x^6 + 4 x^7 + 3 x^8 + 2 x^9 + x^{10} = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^2$$

Por supuesto, podemos comprobar esto a través de la expansión, pero si yo fuera un matemático sin acceso a la CAS, ¿cómo podría yo aviso que este es el caso?

Supongo que lo que estoy preguntando es cómo uno se debe "ver" que $P$ puede ser simplificado a $(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^2$? Es una multinomial (que parece un poco demasiado complicado para alguien "aviso"), o hay algo más simple sobre el polinomio que uno podría utilizar para factor?

Answer 1

Por factorización directa:

$$ \begin{align} P(x) &= 1 + 2 x + 3 x^2 + 4 x^3 + 5 x^4 + 6 x^5 + 5 x^6 + 4 x^7 + 3 x^8 + 2 x^9 + x^{10} \\[5px] &= 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 \\ &\quad\quad + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 \\ &\quad\quad\quad\quad + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots \\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^{10} \\[5px] &= \color{blue}{1} + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 \\ &\quad\quad + \color{blue}{x}\cdot(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) \\ &\quad\quad\quad\quad + \color{blue}{x^2} \cdot(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) \\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots \\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad + \color{blue}{x^5} \cdot(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) \\[5px] &= (\color{blue}{1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5}) \cdot (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) \end {align} $$

Answer 2

Cuando se multiplican dos polinomios, el resultado es la suma de cada par de términos, uno de la "izquierda" y de la "derecha", multiplicados juntos.

Con $(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^2$, obtendrá $1*1$ una vez (sólo hay una manera de elegir el "1" de cada lado). Pero tendrás $x$ dos veces, una vez de tomar a la izquierda de la $1$ y el derecho de la $x$, y una vez que de la otra manera alrededor. Por lo tanto, usted obtener un $2x$ en el producto. Luego hay 3 maneras de obtener $x^2$ -- $1*x^2$, $x*x$, y $x^2*1$. Es el mismo desde el otro extremo, con un máximo en el centro.

Reconociendo el factoring es, como muchos complejos polinomio factorings, sólo es cuestión de estar familiarizado con el patrón.

Answer 3

Es más fácil expandir$$(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^2$ $

para obtener$$ 1 + 2 x + 3 x^2 + 4 x^3 + 5 x^4 + 6 x^5 + 5 x^6 + 4 x^7 + 3 x^8 + 2 x^9 + x^{10}$ $ Todo lo que tenemos que hacer es verificar las casillas y el doble de los productos para ver si los coeficientes son correctos.

¿Cómo vemos que P (x) es un cuadrado perfecto? Cuando se evalúa en diferentes valores enteros de x, obtenemos cuadrados perfectos, lo que puede ser útil para hacer una suposición inteligente.

Answer 4

Usar la propiedad distributiva.

$$(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) $$

es igual a

$$ \begin{matrix} (1)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) \\ (x)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) \\ (x^2)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) \\ (x^3)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) \\ (x^4)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) \\ (x^5)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) \\ \end{de la matriz} $$

Cuando se expande, obtenemos $36$ de los productos. Organizar los resultados de estos $36$ productos en columnas cuyas entradas tienen el mismo grado.

$$ \begin{matrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 & x^5 \\ & x & x^2 & x^3 & x^4 & x^5 & x^6 \\ & & x^2 & x^3 & x^4 & x^5 & x^6 & x^7 \\ & & & x^3 & x^4 & x^5 & x^6 & x^7 & x^8 \\ & & & & x^4 & x^5 & x^6 & x^7 & x^8 & x^9 \\ & & & & & x^5 & x^6 & x^7 & x^8 & x^9 & x^{10} \\ \end{de la matriz} $$

La adición de poderes de $x$ muestra cómo el patrón de coeficientes surge, dando

$$= \;\;\; 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5 + 5x^6 + 4x^7 + 3x^8 + 2x^9 + x^{10} $$

En el caso de $\;(1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1} + x^n)^2,\;$ el mismo patrón de coeficientes --- aumentando en incrementos de $1$ $1$ a un valor máximo y luego disminuye en incrementos de $1$ desde el máximo valor de a $1$ --- puede ser visto por pensar en la siguiente.

$$ \begin{matrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 & \ldots & x^{n-1} & x^n \\ & x & x^2 & x^3 & x^4 & \ldots & x^{n-1} & x^n & x^{n+1} \\ & & x^2 & x^3 & x^4 & \ldots & x^{n-1} & x^n & x^{n+1} & x^{n+2} \\ & & & x^3 & x^4 & \ldots & x^{n-1} & x^n & x^{n+1} & x^{n+2} & x^{n+3} \\ & & & & x^4 & \ldots & x^{n-1} & x^n & x^{n+1} & x^{n+2} & x^{n+3} & x^{n+4} \\ \end{de la matriz} $$ $$\cdot$$ $$\cdot$$ $$\cdot$$

Answer 5

Mientras que otros apuntan hacia la factorización de la expresión, me gustaría decir que no siempre es fácil notar que la expresión puede ser factorizados. Además, la serie tiene algún tipo de propiedad - los coeficientes de a poco están aumentando o disminuyendo.

Vamos a tratar de encontrar la suma de la serie debido a que sin duda ayuda en la simplificación.

$$Let, \; S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3+5x^4+6x^5+5x^6+4x^7+3x^8+2x^9+x^{10} \,$$

$$ x . S = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + 5x^5+6x^6+5x^7+4x^8+3x^9+2x^{10}+x^{11}$$

A partir de aquí, se puede conseguir,

$$S (x-1) = -(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5) + (x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}) + x^{11}$$

Ahora el uso de la fórmula de una progresión geométrica en las dos primeras series para obtener: $$ S (x-1) = -\frac{(x^6-1)}{x-1} + \frac{x^6(x^5 - 1)}{x-1} + x^{11}$$

$$ S = \frac{(1-x^6) + x^6(x^5 - 1) + x^{11}(x-1)}{(x-1)^2}$$

$$ S = \frac{x^{12} - 2x^6 + 1}{(x-1)^2}$$

$$ S = \frac{(x^6 - 1)^2}{(x-1)^2}$$

Ahora es hecho perfecto en toda la plaza. Usted puede simplemente dividir $x^6-1$ $x-1$ para obtener el resultado deseado.