Demuestre que el operador es operador cero.

Question

Permita que$H$ sea el espacio de Hilbert y$T$ sea un operador lineal limitado en$H$. Si$$\langle T^2x,x\rangle =0, \forall x \in H \quad \text{and} \quad \langle Tx,x\rangle =0, \forall x \in H, $ $ entonces$T=0$.

Pensé mucho sobre este problema pero no pude encontrar ninguna pista para abordar este problema. Alguien da la pista para resolver este, ¡gracias ..!

Answer 1

Sugerencia: es suficiente para demostrar que$$\langle Tx,Tx\rangle=0.$ $ Para mostrar esto, puede agregar los términos adecuados que son ortogonales a$Tx$ en el producto interno para obtener un término de la forma$\langle Ty,y\rangle$ para algunos $y$.