Invarianza homotópica de la cohomología de Rham

Question

Dejemos que $M,N$ sean variedades suaves que sean equivalentes en homotopía, es decir, que existan mapas suaves $F:M\rightarrow N$ y $G:N\rightarrow M$ tal que $F\circ G$ es homotópico al mapa de identidad en $N$ y $G\circ F$ es homotópico al mapa de identidad en $M$ .

Entonces, la invariancia de homotopía de la cohomología deRham dice que los grupos de cohomología deRham de $M$ y $N$ son isomorfas.

No soy capaz de entender la construcción dada en la Intoducción a los colectores lisos de Lee.

Cuál es la idea aproximada que hay detrás de esta prueba (o de cualquier otra prueba) de la invariancia de homotopía de la cohomología de Rham.

EDIT : Dado que $M,N$ son equivalentes en homotopía como en el caso anterior, tenemos que demostrar que $H^p_{dR}(M)$ y $H^p_{dR}(N)$ son isomórficos. Esperamos que esto venga de $F^*:H^p_{dR}(N)\rightarrow H^p_{dR}(M)$ y $G^*:H^p_{dR}(M)\rightarrow H^p_{dR}(N)$ .

No entiendo la idea de la prueba de dos mapas homotópicos tienen mapas de cohomología deRham inducidos iguales .

Una vez que probamos esto, entonces $F\circ G$ y $1_N$ inducen los mismos mapas de cohomología deRham, es decir, la composición $H^p_{dR}(N)\xrightarrow{F^*} H^p_{dR}(M)\xrightarrow{G^*} H^p_{dR}(N)$ es el mismo que el mapa de identidad en $H^p_{dR}(N)$ y de forma similar la composición $H^p_{dR}(M)\xrightarrow{G^*} H^p_{dR}(N)\xrightarrow{F^*} H^p_{dR}(M)$ es el mismo que el mapa de identidad en $H^p_{dR}(M)$ . Esto dice que $F^*\circ G^*=1$ y $G^*\circ F^*=1$ . Así, $F^*,G^*$ son isomorfismos, inversos entre sí, conllevando que los grupos de cohomología deRham $H^p_{dR}(M)$ y $H^p_{dR}(N)$ son isomorfas.

Cómo demostramos que dos mapas de homotopía inducen los mismos mapas de cohomología deRham. Sea $f:M\rightarrow N$ y $g:M\rightarrow N$ sean dos mapas de homotopía, queremos demostrar que $f^*=g^*:H^p_{dR}(N)\rightarrow H^p_{dR}(M)$ es decir, $f^*(\omega)=g^*(\omega)+\text{closed p-form on }M$ cuando se ven como mapas $\Omega^p(N)\rightarrow \Omega^p(M)$ . Esto significa que se espera que tengamos $$f^*(\omega)=g^*(\omega)+d\eta$$ donde $\eta$ es un suave $p-1$ forma.

Esto da cuestión de definir un mapa $h:\{\text{closed p-forms on }N\}\subseteq \Omega^p(N)\rightarrow \Omega^{p-1}(M)$ asignando a cada uno cerrado $p$ formulario $\omega$ en $N$ a $p-1$ formulario $\eta$ en $M$ tal que $f^*(\omega)=g^*(\omega)+d\eta$ .

Entonces el autor dice resulta ser mucho más sencillo para definir $h:\Omega^p(N)\rightarrow \Omega^{p-1}(M)$ no con la condición $f^*(\omega)=g^*(\omega)+d(h\omega)$ para cada forma cerrada $\omega$ pero con una condición más general que $$f^*(\omega)-g^*(\omega)=d(h\omega)+h(d\omega)$$ para cada suave $p$ forma. Supongamos que $\omega$ está cerrado, entonces $d\omega=0$ y obtenemos la condición requerida de que $f^*(\omega)-g^*(\omega)=d(h\omega)$ .

Entonces, ahora la cuestión es definir un mapa $h:\Omega^p(N)\rightarrow \Omega^{p-1}(M)$ satisfaciendo la condición anterior. ¿Cómo podemos pensar en construir ese mapa? Si pensamos en pasar de un $p$ forma a un $p-1$ formar una cosa obvia es de alguna manera integrar este $p$ forma. Qué $p$ ¿podemos integrar aquí? Es natural que de alguna manera integrar el $p$ formulario $f^*(\omega)-g^*(\omega)$ para conseguir un $p-1$ formulario $h\omega$ . Así, cuando se invierte el proceso, es decir, cuando se diferencia se obtiene $f^*(\omega)-g^*(\omega)=d(h\omega)$ . Esta idea es vaga y no puedo mejorarla.

Este $h$ se denomina en este libro operador de homotopía.

Cualquier sugerencia sobre cómo piensa en producir este operador es bienvenida.

Answer 1

Ahora leo el libro y me doy cuenta de que la derivada de Lie se introduce después del capítulo de cohomología, si se invierte el orden hay una interpretación muy directa.

Quieres probar:

Si $f_0,f_1 : M\to N$ son mapeos suaves que son homotópicos, entonces $$ f_0^* = f_1^* : H^k_{dR}(N)\to H^k_{dR}(M)$$ para todos $k$ .

Recordemos que el mapeo pullback inducido en $H^k$ es sólo $f_0^* [\alpha] = [f_0^*\alpha]$ y similares para $f_1$ . Por lo tanto, hay que demostrar: para cualquier $k$ -forma $\alpha$ en $N$ , $ [f_0^*\alpha] =[ f_1^*\alpha]$ o $[f_1^*\alpha - f_0^*\alpha] = 0$ .

Es decir, quiere escribir $f_1^*\alpha - f_0^*\alpha$ como $d$ de algo. Obsérvese que por el teorema fundamental del cálculo,

$$f_1^*\alpha - f_0^*\alpha = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} (f_t^*\alpha) dt.$$

Aquí $f_t$ es la homotecia entre $f_0$ y $f_1$ . Por supuesto, no está claro cuál es el lado derecho. Queremos darle una interpretación más intrínseca, para poder comprobar si el lado derecho es realmente $d$ de algo.

Dejamos que $F : M \times [0,1] \to N$ sea la homotecia y $\iota_t : M\to M\times [0,1]$ , $\iota_t (x) = (x, t)$ sea la inclusión. Entonces $f_t = F\circ \iota_t$ Por lo tanto $f_t^* = \iota_t^* \circ F^*$ y

$$\begin{split} \frac{\partial}{\partial t} (f_t^* \alpha) (x)&= \frac{\partial }{\partial t} (\iota_t^* (F^*\alpha) (x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial t} (F^*\alpha)(x, t)\\ &= \mathscr{L}_T (F^*\alpha), \end{split}$$ $\mathscr L_T$ es la derivada de Lie a lo largo del vector $T:=\frac{\partial}{\partial t}$ (como campo vectorial en $M\times [0,1]$ ). Ahora la fórmula mágica de Cartan da (para cualquier forma diferencial $\omega$ campos vectoriales $X$ )

$$ \mathscr L_X \omega = \iota_X d\omega + d \iota_X \omega.$$

Así que tenemos

$$\begin{split} \int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} (f_t^*\alpha) dt &= \int_0^1 \mathscr L_T (F^*\alpha) dt \\ &= \int_0^1 \big( \iota_T d(F^*\alpha) + d\iota_T (F^*\alpha)\big) dt \\ &= \int_0^1 \iota_T F^* (d\alpha) dt+ d \left( \int_0^1 \iota_T (F^*\alpha) dt\right) \end{split}$$

Nótese que la integración es exactamente el operador de homotopía $h$ construido: así

$$ \int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} (f_t^*\alpha) dt = h(d\alpha) + d(h(\alpha)).$$

Así que tenemos la siguiente mejor opción: el lado derecho en general no es $d$ de algo, pero es cuando $\alpha$ está cerrado. Esto demuestra el teorema.

Por supuesto, sólo estoy ocultando todo en la fórmula mágica de Cartan. La fórmula se demuestra comúnmente por cálculo directo . Un argumento más elegante/geométrico se sugiere en la mecánica clásica de Arnold aquí . Nótese que este último también utiliza un operador de homotopía.

Answer 2

Teorema (Invariancia de la homotopía).

Mapas homotópicos de variedades suaves inducen el mismo mapa lineal de su cohomología de Rham.

Corolario (del Teorema)

Múltiples homotópicos equivalentes $M$ y $N$ tienen grupos de cohomología isomórficos $H^k(M)$ y $H^k(N)$ para todos $k$ .

Prueba.

Dejemos que $f : M \rightarrow N$ y $g : N \rightarrow M$ sean mapas tales que $f \circ g \sim id_N$ y $g \circ f \sim id_M$ . Entonces, por este Teorema, para cada $k$ tenemos mapas lineales de espacios vectoriales \begin{align} f^*:H^k(N) &\rightarrow H^k(M) \\ g^*:H^k(M) &\rightarrow H^k(N) \end{align} Con la propiedad que $f^* \circ g^* = id$ en $H^k~(N~)$ . La "homtopía a la identidad" se convierte en "igual a la identidad" para los mapas de cohomología. Esto significa entonces que estos espacios son isomorfos.