Pregunta: En la prueba de Maschke del teorema construimos para cada subrepresentation $U \subseteq V$ $G$- equivariant proyección en $U$. ¿Cómo podemos abstracta ver que para cualquier $k$-proyección lineal $p \colon V \to V$ a $U$, el resultado es $G$-equivariant mapa de $\hat{p} = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} (g.\!p) \colon V \to V$ debe ser de nuevo una proyección en $U$?
Programa de instalación: Deje $G$ ser un grupo finito y $k$ un campo con $\operatorname{char} k \nmid |G|$. A continuación, para cada representación $V$ $G$ el mapa $$ V \a V \quad v \mapsto \hat{v} := \frac{1}{|C|} \sum_{g \in G} g.\!v $$ es una proyección sobre el subespacio $V^G \subseteq V$ $G$- invariantes. Nos referiremos a esto como la proyección sobre los invariantes.
Esto es famosa por ser utilizada en una de las pruebas del teorema de Maschke: Deje $V$ ser una representación de $G$ $k$ y deje $U \subseteq V$ ser un subrepresentation. Comenzando con cualquier $k$-proyección lineal $p \colon V \to V$ a $U$, se puede aplicar la proyección sobre los invariantes a la representación de la $\operatorname{Hom}_k(V,V)$ para obtener un nuevo mapa $$ \hat{p} \en \operatorname{Hom}_k(V,V)^G = \operatorname{Hom}_G(V,V) \,. $$ Entonces, uno puede comprobar que esta $G$-endomorfismo $\hat{p}$ es de nuevo una proyección en $U$, por ejemplo, mediante la comprobación de que $\operatorname{im} \hat{p} \subseteq U$ y $\hat{p}(u) = u$ por cada $u \in U$.
Mientras que la proyección sobre los invariantes explica muy bien cómo traducir la $k$-proyección lineal $p$ a una $G$-endomorfismo $V \to V$, todavía no he encontrado una explicación de por qué $\hat{p}$ volverá a ser una proyección en $U$. ("Comprobación de los elementos" demuestra que funciona, pero no explica por qué funciona.)
¿Cómo podemos abstracta ver que mediante la aplicación de la proyección sobre los invariantes de a $p$ el resultado $G$-endomorfismo $\hat{p}$ debe ser de nuevo una proyección en $U$?
Esto es lo que he intentado/averiguado hasta el momento:
Supongamos que $W \subseteq V$ $k$- lineal subespacio que no es un subrepresentation, y deje $q \colon V \to V$ ser una proyección en $W$.
- A continuación, $\hat{q} \colon V \to V$ no tiene imagen $W$ desde $\hat{q}$ $G$- equivariant y $\operatorname{im} \hat{q}$ es por lo tanto un subrepresentation de $V$. Pero $\operatorname{im} \hat{q}$ está contenida en el subrepresentation generado por $W$.
- $\hat{q}$ no es necesariamente una proyección. (Ejemplo: Deje $\mathbb{Z}/4$ actúa en $V = \mathbb{R}^2$, vamos a $W$ $x$- eje y $q$ la proyección ortogonal. A continuación, $\hat{q}(x) = x/2$ por cada $x \in W$, por lo que el $\hat{q}^2 \neq \hat{q}$.)
Por lo que parece bastante importante para $U$ a ser un subrepresentation de $V$.
Para cada $G$-homomorphism $f \colon V \to W$ que $f(\hat{v}) = \widehat{f(v)}$. En lenguaje fino podemos considerar a $\widehat{(-)}$ natural de la transformación de la identidad functor al invariantes functor $(-)^G$. Desde $\widehat{(-)}_V$ es una proyección para cada representación $V$, esto se generaliza a una descomposición natural de $V = V^G \oplus V^{\text{non-triv}}$.
Dado $k$-lineal mapas $f \colon U \to V$, $g \colon V \to W$ el primer punto de la muestra que no siempre tienen que $\widehat{f \circ g} = \hat{f} \circ \hat{g}$ (de lo contrario $\hat{q}$ volvería a ser una proyección). Pero se sigue desde el segundo punto que $$ \widehat{\hat{f} \circ g} = \hat{f} \circ \hat{g} = \widehat{f \circ \hat{g}} $$ desde $\operatorname{Hom}_k(U,V) \to \operatorname{Hom}_k(U,W)$, $h \mapsto \hat{g} \circ h$ y $\operatorname{Hom}_k(V,W) \to \operatorname{Hom}_k(U,W)$, $h \mapsto h \circ \hat{f}$ se $G$-homomorphisms (que tiene debido a $\hat{g}$ $\hat{f}$ $G$- homomorphisms).
Uno puede utilizar la proyección sobre invariantes para dar diferentes, más pruebas abstractas de Maschke del teorema (por ejemplo, la sección 3.2 aquí, que utiliza la descomposición natural desde el segundo punto). Pero hasta ahora no he encontrado un resumen de la prueba que mejor explica el "clásico" de la prueba.
Cualquier ayuda es muy apreciada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El siguiente enfoque se basa en la sección 5 de Tobias Kildetoft notas acerca de la teoría de representaciones de grupos finitos.
Tenga en cuenta que para cada $g \in G$ el mapa de $g.\!p = gpg^{-1}$ resultados de $p$ mediante la conjugación con $g$. Desde $p$ es una proyección sobre el subespacio lineal $U$ se sigue que $g.\!p$ es una proyección sobre el conjugado lineal subespacio $g.\!U$.
Debido a $U$ es un subrepresentation tenemos que $g.\!U= U$. Por lo tanto cada sumando $g.\!p$ sí ya es una proyección en $U$.
Para cada colección finita de las proyecciones de $q_1, \dotsc, q_n$$U $, el promedio de $\hat{q} := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n q_i$ es de nuevo una proyección en $U$ (donde suponemos que ese $\operatorname{char} k \nmid n$). Esto puede ser visto en al menos las siguientes dos maneras:
una. Las condiciones que $q(u) = u$ por cada $u \in U$ y $q(v) \in U$ por cada $v \in V$ son preservados por tomar los promedios.
b. Por cada dos proyecciones de $q_i, q_j$ a $U$ tenemos que $q_i q_j = q_j$, por lo que \begin{align*} \hat{q}^2 = \frac{1}{n^2} \sum_{i,j=1}^n q_i q_j = \frac{1}{n^2} \sum_{i,j=1}^n q_j = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n q_j = \hat{q}. \end{align*}
Tenga en cuenta que este enfoque muestra que todos los de los mapas de $V \to V$ que aparecen en la prueba de Maschke del teorema ya son proyecciones en $U$. Lo que nunca hemos de perder la propiedad de "ser una proyección en $U$" a lo largo de la prueba, lo que resulta en $\hat{p}$ también ser una proyección en $U$.
Se podría mejorar aún más/resumen de las observaciones anteriores: Nota, por ejemplo, que 3.una. en realidad, argumenta que el subconjunto $A \subseteq \operatorname{Hom}_k(V,V)$ de las proyecciones de a $U$ es cerrado bajo afín combinaciones, y por lo tanto es un subespacio afín, y que 1. y 2. explicar por qué la $A$ es cerrado bajo la acción de la $G$. Como el proceso de promediado ya tiene sentido en el subespacio afín $A$ se deduce que el promedio de $\hat{p}$ se encuentra de nuevo en $A$. (Así que tal vez deberíamos mirar hacia afín acciones?)
