Cómo resolver $$\int_0^1\int_0^1\frac{1}{(1-{\alpha}x^{\beta}y^{\gamma})^2}dxdy$$ donde $0\leq\alpha<1$, $\beta\geq0$, y $\gamma\geq0$. Tiene la forma cerrada? No estoy recibiendo ningún método para resolver esta integral. Cualquier sugerencia se agradece. Gracias!
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omegadot
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Como se ha señalado en los comentarios, la integral se puede expresar en forma cerrada en términos de la función hipergeométrica $_2 F_1(a,b;c;z)$ $\beta \neq \gamma$ . Para ello haremos uso de la siguiente representación integral de la función hipergeométrica de $$_2 F_1 (a,b;c;z) = \frac{\Gamma (c)}{\Gamma (b) \Gamma (c - b)} \int_0^1 \frac{t^{b - 1} (1 - t)^{c - b - 1}}{(1 - zt)^a} \, dt. \tag1$$
Ahora, vamos a $$I = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{(1 - \alpha x^\beta y^\gamma)^2} \, dx dy,$$ donde $0 \leqslant \alpha < 1, \beta > 0, \gamma > 0$. Establecimiento $z = x^\beta y^\gamma$, luego $$dx = \frac{y^{-\gamma/\beta}}{\beta z^{1 - 1/\beta}} \, dz,$$ y la integral se convierte en $$I = \frac{1}{\beta} \int_0^1 \int_0^{y^\gamma} \frac{1}{(1 - \alpha z)^2} \frac{y^{-\gamma/\beta}}{z^{1 - 1/\beta}} \, dz dy.$$ Cambiando el orden de integración da $$I = \frac{1}{\beta} \int_0^1 \int_{z^{1/\gamma}}^1 \frac{1}{(1 - \alpha z)^2} \frac{y^{-\gamma/\beta}}{z^{1 - 1/\beta}} \, dy dz.$$ El $y$-integración de ahora puede ser fácilmente realizado. Siempre $\beta \neq \gamma$ el resultado es \begin{align*} I &= \frac{1}{\beta - \gamma} \int_0^1 \frac{z^{\frac{1}{\beta} - 1} - z^{\frac{1}{\gamma} - 1}}{(1 - \alpha z)^2} \, dz \tag2 \end{align*}
Ahora podemos reescribir (2) en la forma de (1) como sigue \begin{align*} I &= \frac{1}{\beta - \gamma} \int_0^1 \frac{z^{\frac{1}{\beta} - 1} (1 - z)^{(\frac{1}{\beta} + 1) - \frac{1}{\beta} - 1}}{(1 - \alpha z)^2} \, dz - \frac{1}{\beta - \gamma} \int_0^1 \frac{z^{\frac{1}{\gamma} - 1} (1 - z)^{(\frac{1}{\gamma} + 1) - \frac{1}{\gamma} - 1}}{(1 - \alpha z)^2} \, dz\\ &= \frac{1}{\beta - \gamma} \frac{\Gamma \left (\frac{1}{\beta} \right ) \Gamma (1)}{\Gamma \left (1 + \frac{1}{\beta} \right )}\ _2 F_1 \left (2, \frac{1}{\beta}; 1 + \frac{1}{\beta}; \alpha \right ) - \frac{1}{\beta - \gamma} \frac{\Gamma \left (\frac{1}{\gamma} \right ) \Gamma (1)}{\Gamma \left (1 + \frac{1}{\gamma} \right )}\ _2 F_1 \left (2, \frac{1}{\gamma}; 1 + \frac{1}{\gamma}; \alpha \right ). \end{align*}
A partir de las siguientes propiedades de la función Gamma, es decir,$\Gamma (1 + z) = z\Gamma (z)$, el resultado puede ser simplificado y conduce a $$\int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{(1 - \alpha x^\beta y^\gamma)^2} \, dx dy = \frac{\beta}{\beta - \gamma}\ _2 F_1 \left (2, \frac{1}{\beta}; 1 + \frac{1}{\beta}; \alpha \right ) - \frac{\gamma}{\beta - \gamma}\ _2 F_1 \left (2, \frac{1}{\gamma}; 1 + \frac{1}{\gamma}; \alpha \right ),$$ siempre $\beta \neq \gamma$.
Si $\beta = \gamma$, después de realizar el $y$-integración más que el resultado dado en (2) uno en lugar de tener $$I = -\frac{1}{\beta^2} \int_0^1 \frac{z^{\frac{1}{\beta} - 1} \ln z}{(1 - \alpha z)^2} \, dz,$$ una integral que está demostrando ser un poco difícil en este momento.
