Agradecería que alguien me ayudara con el siguiente problema
Encontrar todas las funciones diferenciables de valor real $f$ con dominio el conjunto de todos los números reales y que satisface la ecuación funcional: $$f(x)=\max\{-f'(x),x-1\}.$$
Respuestas
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Voy a demostrar que no hay soluciones.
La gráfica de dicha función tiene que quedar por encima (o sobre) la línea $\Delta: y=x-1$ en todo momento.
La función $x\mapsto x-1$ no es una solución en sí misma (sólo para $x\geq 0$ ), por lo que el gráfico de $f$ tiene que estar estrictamente por encima de $\Delta$ en algún momento $x_0$ . Por continuidad, existe una vecindad de ese punto donde la gráfica se mantiene por encima de $\Delta$ .
En esa vecindad, debemos tener $f=-f'$ Por lo tanto $f(x)=Ce^{-x}$ para alguna constante $C$ .
Ahora, es imposible que $f$ para mantenerse igual a $x\mapsto Ce^{-x}$ en $\mathbb{R}$ porque el gráfico de $x\mapsto Ce^{-x}$ no se queda en el mismo lado de $\Delta$ No importa lo que suceda. $C$ es.
Posible continuación 1:
Llame a $I$ la parte del dominio donde $f(x)= Ce^{-x}$ .
Tenga en cuenta que $f$ tiene que ser igual a $x\mapsto Ce^{-x}$ siempre y cuando no golpee $\Delta$ . Pero cuando lo hace, es fácil ver que entonces $f'$ tiene que ser igual a $1$ por la propiedad de que $f$ tiene que estar por encima de $\Delta$ en todo momento.
Ahora bien, si $C>0$ no hay forma de que $f'$ puede ser igual a $1$ en $I$ ya que es una función negativa.
Si $C<0$ entonces $f'$ será igual a $1$ exactamente una vez en $I$ pero como $C<0$ , $f$ es cóncavo, y golpeará $\Delta$ dos veces. Una contradicción.
Posible continuación 2:
Por lo tanto, lo siguiente sí define un número real: $$x_1=\sup \{x>x_0, f(x)=Ce^{-x}\}$$
Por la propiedad de los supremos, existe una secuencia $\varepsilon_i\to 0$ $$f(x_1+\varepsilon_i)=x_i+\varepsilon_i-1$$ de lo que se deduce que $$f(x_1)=x_1-1\qquad \text{and}\qquad f'(x_1)=1$$
Tomando los límites de la izquierda, $$f(x_1)=Ce^{-x_1}\qquad \text{and}\qquad f'(x_1)=-Ce^{-x_1}$$
De estas cuatro ecuaciones se deriva sucesivamente que $x_1=0$ entonces $f(x_1)=-1$ entonces $C=-1$ .
Esto significa que $f(x)=-e^{-x}$ en el intervalo $(x_0, 0)$ una contradicción porque la gráfica de esa función no se encuentra por encima de $\Delta$ . Por lo tanto, no hay soluciones.
Βασίλης Μάρκος
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Dejemos que $A\subset\mathbb{R}$ sea el conjunto donde $f(x)=x-1$ y que $B=\mathbb{R}\setminus A$ sea el conjunto donde $f(x)=-f'(x)\Leftrightarrow f(x)+f'(x)=0\Leftrightarrow e^xf(x)+e^xf'(x)=0\Leftrightarrow e^xf(x)=c\Leftrightarrow f(x)=ce^{-x}$ para algunos $c\in\mathbb{R}$ .
Ahora bien, tenga en cuenta que en todos los casos debe satisfacerse que: $$f(x)\geq-f'(x)$$ Por lo tanto, dejemos que $x\in A$ . Entonces $f(x)=x-1\Rightarrow f'(x)=1$ . Así que necesitamos que $f(x)\geq1\Leftrightarrow x-1\geq-1\Leftrightarrow x\geq0$ . Así que $$A\subseteq[0,+\infty)$$
Ahora, dejemos que $x\in B$ . Entonces, $f(x)=ce^{-x}$ y, además, también tenemos eso: $$f(x)\geq x-1$$ por cada $x\in\mathbb{R}$ . Así que tenemos eso: $$ce^{-x}\geq x-1$$ por cada $x\in B$ . Tenga en cuenta que $A\subseteq[0,+\infty)\Rightarrow(-\infty,0)\subseteq B$ Así que esto debería, con toda seguridad, valer para cada $x<0$ . Por lo tanto, la siguiente desigualdad: $$ce^{-x}\geq x-1,\ \forall x<0$$ produce, tomando los límites como $x\to0^-$ : $$c\lim_{x\to0^{-}}e^{-x}\geq\lim_{x\to0^-}(x-1)\Leftrightarrow c\geq-1$$ Transforme la desigualdad anterior en la siguiente: $$c\frac{e^{-x}}{x-1}\leq0,\ \forall x<0$$ Tomando los límites como $x\to-\infty$ rendimientos: $$c(-\infty)\leq0$$ por lo tanto, tomamos que $cgeq0$ .
Ahora bien, como $f$ debe ser diferenciable, también debe ser continua, por lo que, necesitamos encontrar las soluciones de la ecuación: $$ce^{-x}=x-1\Leftrightarrow ce^{-x}-x+1=0$$ Dejemos que $g(x)=ce^{-x}-x+1$ y ten en cuenta que: $$g'(x)=-ce^{-x}-1\leq-1<0$$ así que $g$ es estrictamente decreciente, lo que implica que $g$ tiene como máximo una solución. Nótese que $g(0)=c+1>0$ y $g(+\infty)=-\infty$ Así que $g$ tiene exactamente uno solución $x_0\in(0,+\infty)$ . Así que, $f$ es de la forma:
$$f(x)=\left\{\begin{array}{c} ce^{-x} & x<x_0\\ x-1 & x\geq x_0 \end{array}\right.,x_0>0$$
Ahora, $f$ es necesario que sea diferenciable, por lo que, en ese punto de unión deberíamos tener $$(ce^{-x})'|_{x=x_0}=(x-1)'|_{x=x_0}\Leftrightarrow-ce^{-x_0}=1$$ Pero, $-ce^{-x_0}\leq-c\leq0<1$ desde $x_0>0$ Por lo tanto, esto no es posible.
Por lo tanto, no existe tal función diferenciable sobre $\mathbb{R}$ . Aun así, hay que tener en cuenta que por cada $c\geq0$ la función
$$f(x)=\left\{\begin{array}{c} ce^{-x} & x<x_0\\ x-1 & x\geq x_0 \end{array}\right.,x_0>0$$
es una solución al mismo problema, excluyendo sólo el punto de unión $x_0$ en lo que respecta a la diferenciabilidad. Mantener o no estas soluciones depende del contexto del que provenga su problema.
Observación: La ecuación diferencial $f=-f'$ tiene también la solución trivial $f=0$ que es el caso $c=0$ y da probablemente la más simple semi-solución a este problema - aquí $x_0=1$ .
