Determinar el valor de la forma de suma.

Question

Determinar el valor de $ \displaystyle \sum_ {k=n}^{2n} \binom {k} {n} 2^{-k}$ para $n \geq 1$

Mi intento: He hecho esta pregunta antes en otro foro de matemáticas pero no lleva a ninguna solución. Mi amigo me sugirió que buscara algo como la serie K. También miré mi libro de texto en la sección de combinatoria (que aparentemente lleva al Teorema del Binomio), pero en realidad no tengo ninguna idea para esta. ¿Podría ayudarme?

Answer 1

Empecemos con la famosa identidad conocida del triángulo de Pascal, $$ \binom {k}{n}= \binom {k-1}{n-1}+ \binom {k-1}{n}.$$ Es válido para todos $k$ y $n$ si asumimos $ \binom {k}{n}=0$ para $n>k$ o $n<0$ . Así que podemos definir nuestra suma como $$s_n= \sum_ {k \le2n } \binom {k}{n}2^{-k}= \sum_ {k \le2n } \binom {k-1}{n-1}2^{-k}+ \sum_ {k \le2n } \binom {k-1}{n}2^{-k}$$ Obviamente, podemos reescribir el RHS como $$ \frac12\sum_ {k \le2n } \binom {k-1}{n-1}2^{-k+1}+ \frac12\sum_ {k \le2n } \binom {k-1}{n}2^{-k+1},$$ y con una traducción del índice de suma, esto se convierte en $$ \frac12\sum_ {k \le2n -1} \binom {k}{n-1}2^{-k}+ \frac12\sum_ {k \le2n -1} \binom {k}{n}2^{-k}.$$ Las sumas en la RHS pueden ser expresadas por $s_{n-1}$ y $s_n$ así que obtenemos $$ \frac12\ ,s_{n-1}+ \binom {2n-1}{n-1}2^{-2n}+ \frac12\ ,s_n- \binom {2n}{n}2^{-2n-1}= \frac12\ ,s_{n-1}+ \frac12\ ,s_n$$ a causa de $$ \binom {2n}{n}= \binom {2n-1}{n-1}+ \binom {2n-1}{n}=2 \binom {2n-1}{n-1}.$$ Pero esto implica $s_n=s_{n-1}$ y el resultado final es $$s_n=s_1= \binom {1}{1}2^{-1}+ \binom {2}{1}2^{-2}=1.$$

Answer 2

Esta respuesta se basa en la La fórmula de inversión de Lagrange . Es conveniente utilizar el coeficiente de operador $[z^n]$ para denotar el coeficiente de $z^n$ en una serie. De esta manera podemos escribir por ejemplo \begin {alineado*} [z^n] \frac {1}{1-2z}=[z^n] \sum_ {j=0}^ \infty 2^jz^j=2^n \end {alineado*}

Obtenemos \begin {alineado*} \color {azul}{ \sum_ {k=n}^{2n} \binom 2 &= \sum_ {k=0}^n \binom {n+k}{k}2^{-n-k} \tag {1} \\ &= \frac {1}{2^n} \sum_ {k=0}^n \binom {-n-1}{k} \left (- \frac {1}{2} \right )^k \tag {2} \\ &= \frac {1}{2^n}[z^n] \frac {1}{ \left (1- \frac {z}{2} \right )^{n+1}(1-z)} \tag {3} \\ &= \frac {1}{2^n}[z^n] \left.\left ( \frac {1}{ \left (1- \frac {w}{2} \right )(1-w)} \cdot\frac {1}{1- \frac {w}{2} \cdot\frac {1}{1- \frac {w}{2}}} \right ) \right |_{w= \frac {z}{1- \frac {w}{2}}} \tag {4} \\ &= \frac {1}{2^n}[z^n] \left.\frac {1}{(1-w)^2} \right |_{w=1- \sqrt {1-2z}} \tag {5} \\ &= \frac {1}{2^n}[z^n] \frac {1}{1-2z} \\ & \color {azul}{=1} \end {alineado*}

Comentario:

• En (1) desplazamos el índice $k$ para empezar $k=0$ .

• En (2) usamos la identidad del binomio $ \binom {-p}{q}= \binom {p+q-1}{q}(-1)^q$ y $ \binom {p}{q}= \binom {p}{p-q}$ .

• En (3) observamos que la suma es el coeficiente de la convolución de dos series \begin {alineado*} [z^n] \left ( \sum_ {k}a_kz^k \right ) \left ( \sum_ {l}b_lz^l \right )=[z^n] \sum_ {N} \left ( \sum_ {k=0}^Na_k b_{N-k} \right )z^N = \sum_ {k=0}^na_k b_{n-k} \end {alineado*} Aquí con $a_k= \binom {-n-1}{k} \left (- \frac {1}{2} \right )^k$ y $b_k=1$ .

• En (4) usamos el Fórmula de inversión de Lagrange en el formulario G6 que figura en el documento de R. Sprugnolis (etal) Inversión de Lagrange: cuándo y cómo .

\begin {alineado*} [z^n]F(z) \Phi (z)^n=[z^n] \left.\frac {F(w)}{1-z \Phi '(w)} \right |_{w=z \Phi (w)} \end {alineado*}

Aquí con $ \Phi (z)= \frac {1}{1- \frac {z}{2}}$ y $F(z)= \frac {1}{ \left (1- \frac {z}{2} \right )(1-z)}$ . Se sigue desde $w=z \Phi (w)$ : \begin {alineado*} z \Phi ^{ \prime }(w)= \frac {z}{2} \cdot\frac {1}{ \left (1- \frac {w}{2} \right )^2} = \frac {z}{2} \Phi ^2(w)= \frac {w}{2} \Phi (w)= \frac {w}{2} \cdot\frac {1}{1- \frac {w}{2}} \end {alineado*}

• En (5) simplificamos la expresión y seleccionamos la solución $w=w(z)$ de $w= \frac {z}{1- \frac {w}{2}}$ que puede ser expandido en una serie de energía.