Encuentra todos los $f$ que satisfacen $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R};f(x+y)+f(x)f(y)=(1+x)f(y)+(1+y)f(x)+f(xy)$

Question

Encuentra todos los $f$ que satisfacen: $1, ~f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R};\\ 2,\forall x,y\in\mathbb{R},f(x+y)+f(x)f(y)=(1+x)f(y)+(1+y)f(x)+f(xy); $

Tal vez podamos demostrar que es derivable o que es una función lineal.

¿Alguna idea?

Answer 1

Las únicas soluciones son $f(x)=0$, $f(x)=3x$ y $f(x)=x(x+1)$. Es fácil verificar que todas estas funcionan; ahora déjame demostrar que no hay otras soluciones.

Primero, nota que al poner $y=0$ obtenemos $$f(x)f(0)=(2+x)f(0).$$ Así que o bien $f(0)=0$ o $f(x)=2+x$ para todo $x$. Dado que $f(x)=2+x$ no satisface la ecuación funcional, tenemos $f(0)=0$.

Ahora sea $c=f(1)$. Al poner $y=1$, obtenemos $$f(x+1)=(3-c)f(x)+c(x+1).$$ Si $c=3$, esto nos dice que $f(x)=3x$ para todo $x\in\mathbb{R}$.

Ahora supongamos que $c\neq 3$. Las soluciones $f(x)=0$ y $f(x)=x(x+1)$ corresponden a $c=0$ y $c=2$, así que primero mostremos que estos son los únicos valores posibles de $c$.

Poniendo $x=-1$ en la recurrencia anterior, obtenemos $$0=(3-c)f(-1)$$ y entonces $f(-1)=0$ ya que $c\neq 3$. Poniendo $y=-1$ en la ecuación original luego nos da $$f(x-1)=f(-x).$$ Poniendo $x=2$ obtenemos $f(-2)=f(1)=c$. Pero evaluando $f(-2)$ usando la recurrencia, obtenemos $$f(-2)=\frac{c}{3-c}.$$ Así que $$c=\frac{c}{3-c}$$ lo cual implica que $c=0$ o $c=2$.

Ahora supongamos $c=0$. En ese caso, nuestra recurrencia es $f(x+1)=3f(x)$. También tenemos $f(-x)=f(x-1)=f(x)/3$. Pero entonces $f(x)=f(-(-x))=f(x)/9$, así que $f(x)=0$ para todo $x$.

Esto deja el caso $c=2$. En este caso, la recurrencia es $f(x+1)=f(x)+2x+2$. Entonces también tenemos $f(-x)=f(x-1)=f(x)-2x$. Aplicando la ecuación original con $y=2$, usando $f(x+2)=f((x+1)+1)=f(x)+4x+6$ y $f(2)=6$, obtenemos $$f(2x)=4f(x)-2x.$$ Aplicando la ecuación original con $y=x$ luego obtenemos $$f(x^2)=f(2x)+f(x)^2-2(1+x)f(x)=f(x)^2-2xf(x)+2f(x)-2x.$$ Por otro lado, aplicando la ecuación original con $y=-x$ obtenemos $$f(x)f(-x)=(1+x)f(-x)+(1-x)f(-x)+f(-x^2).$$ Sustituyendo $f(-x)=f(x)-2x$ y $f(-x^2)=f(x^2)-2x^2$ y resolviendo para $f(x^2)$ obtenemos $$f(x^2)=f(x)^2-2xf(x)-2f(x)+4x^2+2x.$$ Comparando nuestras dos ecuaciones para $f(x^2)$, vemos que $4f(x)=4x^2+4x$ y así $f(x)=x(x+1)$ para todo $x$.

Answer 2

Sea $x=y=0$.

Entonces $f(0)^2-2f(0)=0.$

Ahora, sea $f(0)=2$.

Después de la sustitución $y=0$ en la igualdad dada obtenemos: $$f(0)(f(x)-x-2)=0$$ para todo $x$ real, lo que da $$f(x)=x+2.$$ Ahora, sea $x=y=1$.

Obtenemos $f(2)=5f(1)-f(1)^2$ o $$4=15-9,$$ lo cual es incorrecto.

Por lo tanto, $f(0)=0$ solamente.