Sé que el grupo fundamental de que el toro es $\mathbb Z^2$. Me pregunto ¿es posible encontrar un subconjunto del plano tales que el grupo fundamental de este subespacio es $\mathbb Z^2$? Me parece que no puede venir para arriba con un ejemplo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El siguiente es probable que sea en la literatura, pero es más fácil probar que para encontrar una referencia.
La proposición. Si $A\subset R^2$ es un subconjunto no vacío a continuación, para cada $a\in A$ el grupo fundamental de la $\pi_1(A,a)$ es localmente libre.
(Recordar que un grupo de $G$ es llamado localmente libre si cada finitely generado subgrupo de $G$ es gratis. Por ejemplo, el grupo aditivo de los números racionales es localmente libre, pero no es gratis.)
Quiero en primer lugar dar una explicación intuitiva y, a continuación, una prueba formal. Nuestra intuición viene de la conexión de la poligonal subconjuntos $A\subset R^2$, es decir, finito plana simplicial subcomplejos. Cada una de estas subcomplejo es homotopy-equivalente a un número finito gráfico: sólo mantener el colapso de 2 dimensiones simplices $s$ $A$ que tiene un "borde libre", es decir, una arista $e$ tal que $e$ está contenida en un único 2-dimensional simplex en $A$, es decir, $s$. Después de un número finito de tales colapsos obtenemos un número finito conectado subgrafo $B\subset A$. Es un ejercicio estándar en topología algebraica (el uso del teorema de van Kampen) para mostrar que el grupo fundamental de un número finito de grafo conexo es libre. El problema con esta intuición es la que hay (incluso compacto) subconjuntos en $R^2$ que son bastante diferentes de simplicial complejos, por ejemplo, la topologists de la curva sinusoidal o los Lagos de la Ama continuo, que tienden a desafiar nuestra intuición de planos de conjuntos. A continuación es una prueba formal de la proposición.
Prueba. En primer lugar, necesito un poco de teoría de grupos.
Definición. El rango, $rank(G)$, de un (finitely generado) grupo $G$ es el mínimo número de generadores necesarios para generar $G$. (Tenga en cuenta que $G$ no necesita ser libre!)
Está claro que si $Q$ es un cociente de un grupo de $G$$rank(Q)\le rank(G)$. Lo que es menos obvio es el siguiente
Lema. 1 $rank(F_n)=n$ por cada $n$.
(Este lema de la siguiente manera, considerando la abelianization de $F_n$,${\mathbb Z}^n$; por otra parte, se desprende del Lema 2 a continuación).
Lema 2. Si $\phi: F_n\to F_m$ no es inyectiva epimorphism de libre grupos, a continuación,$rank(F_m)< rank(F_n)$.
Lema 2 se sigue de la Hopfian propiedad de libre grupos de rango finito.
Teniendo en cuenta esto, vamos a probar la proposición. La prueba es por inducción sobre el rango de finitely generado subgrupos de $\pi_1(A,a)$. No hay nada que probar para subgrupos de clasificación $0$ (que son triviales), por lo que asumen que la demanda tiene para todos los subgrupos de clasificación $<n$.
El hecho clave que necesitamos es el siguiente teorema debido a Fischer y Zastrow mencionados por George Lowther en su respuesta a esta pregunta:
Teorema. Si $K\subset R^2$ es un subconjunto compacto, entonces el grupo fundamental de la $\pi_1(K,x)$ es localmente libre para cada $x\in K$.
Ahora, supongamos que el $G$ es un rango de $n$ subgrupo de $\pi_1(A,a)$. Yo reclamo que $G$ es gratis. Deje $g_1,...,g_n$ ser generadores de $G$, que son representados por los bucles $L_1,...,L_n$$A$$a$. Si los elementos de a $g_1,...,g_n$ no satisfacen ningún trivial relación en $\pi_1(A,a)$, $G$ es gratuita y ya está. Supongamos, por lo tanto, que exista $R$, una reducción de la palabra en el alfabeto $g_i^{\pm 1}$ tal que $R$ representa el elemento de identidad en $\pi_1(A,a)$. La palabra $R$ corresponde a un mapa continuo $f: D^2\to A$ (de tal manera que la restricción de $f$ hasta el límite de $D$ es una cierta concatenación de los bucles $L_i$ y sus inversos, que está dada por la palabra $R$). La unión de las imágenes de los bucles $L_i$ y el mapa de $f$ es un compacto de trayectoria-conectado subconjunto $C\subset A\subset R^2$. Vamos $h_1,...,h_n\in \pi_1(C,a)$ denotar los elementos representados por los bucles $L_1,...,L_n$.
Por el teorema anterior, $\pi_1(C,a)$ es localmente libre, por lo tanto, el subgrupo $H$ $\pi_1(C,a)$ generado por $h_1,...,h_n$, es gratis. Obtenemos entonces no inyectiva epimorphism $$ F_n\H $$ envío libre de los generadores de a $h_1,...,h_n$. Por el Lema 2, $rank(H)< n$. Por lo tanto, mediante la inducción de la asunción, la imagen de $H$ $\pi_1(A,a)$ (bajo la homomorphism inducida por la inclusión del mapa de $(C,a)\to (A,a)$), que es el subgrupo $G$, es gratis. qed
Ahora, esta proposición implica inmediatamente que para cada subconjunto plana $A\subset R^2$, $\pi_1(A,a)$ no puede contener ${\mathbb Z}^2$, ya que el ${\mathbb Z}^2$ es finitely generado (en realidad, 2-generado) y no es gratis.
Edit. Un ejemplo de una trayectoria-conectado (incluso compacto y localmente trayectoria-conectado)) planar subconjunto localmente libre pero no gratis fundamental está dada por la Pendiente de Hawai. No sé, sin embargo, si, ${\mathbb Q}$ es isomorfo al grupo fundamental de un plano de conjunto.
