Dividiendo un rectángulo en 4 partes en la proporción 1:2:3:4, con solo 2 líneas

Question

Tengo un rectángulo compuesto por 30 cuadrados idénticos (5 de alto y 6 de ancho).

Solo dibujando dos líneas en el rectángulo, divida el rectángulo en 4 partes donde las áreas estén en la proporción 1:2:3:4.

¿Cómo se haría esto? Lo intenté durante una hora o dos; pero sin éxito.

Descargo de responsabilidad: Esta pregunta NO fue creada por mí.

Answer 1

Primero, divide el rectángulo por igual en su lado largo, como se sugiere en los comentarios. En el rectángulo izquierdo, marca el punto que está $\frac45$ de camino hacia arriba y centrado horizontalmente; haz lo mismo para el rectángulo derecho, pero marca el punto solo $\frac35$ hacia arriba. Luego dibuja la línea que conecta los dos puntos marcados. Dado que esta línea cruza los bordes izquierdo y derecho del rectángulo completo, los cuatro pequeños triángulos mostrados arriba (delimitados entre las líneas morada y gris más oscuro) tienen igual área, por lo que el rectángulo izquierdo se divide en 1:4 y el rectángulo derecho se divide en 2:3. En general, el rectángulo se ha dividido en cuatro partes con una proporción de 1:2:3:4.

Esta solución no requiere mover las piezas como en la respuesta de Donald Splutterwit.

Answer 2

Una solución alternativa muy similar a la de Parcly (imagen creada con amor en Excel):

Answer 3

Necesitas mover las dos piezas a las posiciones correctas antes de realizar el segundo corte.

Answer 4

Hay una familia infinita de soluciones de un parámetro. A continuación se presenta un algoritmo para encontrarlas todas. Como adelanto, señalaré desde el principio que este algoritmo funciona igual de bien para cualquier subconjunto convexo de $\mathbb{R}^2$ - no solo para el rectángulo de 5 por 6 en cuestión.

Para empezar, etiquetemos las regiones en el rectángulo dividido con números 1, 2, 3, 4, en correspondencia con su parte de la superficie. Si observamos el orden de las cuatro regiones a medida que avanzamos en sentido horario alrededor del punto de cruce de las dos líneas, comenzando en la región 1, hay 6 posibilidades: (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3), (1,4,3,2). La figura de abajo muestra un ejemplo, donde n, p, q son cualquier permutación de 2, 3, 4.

Paso 1 del algoritmo: Elige una disposición de regiones de las 6 posibilidades.

Veamos ahora qué sucede si elegimos una orientación particular para la línea $l$ (como se especifica por ejemplo por un vector unitario, o un ángulo con respecto a alguna línea de referencia) que recorre el lado contrario al de las manecillas del reloj de la región 1, como se muestra en la figura anterior. Sea $n$ el número de la región que es el vecino en sentido horario de la región 1. Entonces queremos que $l$ divida el rectángulo en dos regiones, una con fracción $\frac{1+n}{10}$ del área total. Si imaginamos que $l$ se desplaza por el rectángulo, vemos que toda el área se desplaza de un lado de la línea al otro de manera monótona. Por el teorema del valor intermedio, hay una única línea $l$ que cumple la tarea.

Paso 2 del algoritmo: Elije una orientación para la línea $l$. De acuerdo con los comentarios anteriores, esto especifica completamente la línea.

Ahora afirmo que la posición de la segunda línea $l'$ está únicamente especificada por las elecciones que ya hemos hecho. Esto se deduce de tres observaciones:

1. Para cualquier punto de intersección entre las dos líneas, hay una orientación única para la segunda línea $l'$ que obtiene correctamente la proporción de áreas 1 y $n$. Esto nuevamente se deduce del teorema del valor intermedio.
2. La orientación encontrada en el punto (1) varía de forma monótona con la posición del punto de cruce a lo largo de la línea $l$.
3. Si el punto de cruce está en un extremo de la línea $l$, entonces elegir $l'$ como se indicó haría que una de las regiones $m$, $q$ en el otro lado tuviera área cero. Entonces nuevamente, por el teorema del valor intermedio, hay una posición única del punto de cruce a lo largo de $l$ que obtiene correctamente la proporción de las dos regiones restantes.

Resumen: La división del rectángulo se puede especificar de forma única mediante dos elecciones: La disposición (1, n, p, q), y la orientación de la línea $l$.

Comentario:

1. Los ejemplos dados por Parcly Taxel y aPaulT corresponden a una orientación paralela al lado corto del rectángulo y a una disposición (1, 2, 3, 4) y (1, 3, 2, 4), respectivamente.
2. Además de funcionar para cualquier subconjunto convexo de $\mathbb{R}^2$, este algoritmo también funciona perfectamente para proporciones distintas de 1:2:3:4.
3. Es posible refinar este algoritmo en una fórmula explícita para las líneas $l$ y $l'$ como función de la disposición de regiones y la orientación de $l$. La razón por la que no lo he hecho es que la fórmula tiene una definición molesta por partes. La raíz del problema es que al mover una línea con una orientación fija sobre un rectángulo, el área a cada lado cambia de manera no suave cada vez que se llega a una esquina.
4. Para utilizar este algoritmo de manera efectiva, a continuación se presenta una nueva solución al problema. Me he restringido al caso especial en el que las regiones 1 y 4 son adyacentes, porque en este caso la línea que las divide de las regiones 2 y 3 debe dividir el rectángulo en dos regiones de igual área. La manera única de lograr esto es que la línea correspondiente pase por el centro del rectángulo, y esto simplifica el algoritmo.

Las ecuaciones para las líneas en este caso son $y = \frac{5}{6} x$ para $l'$ (una diagonal del rectángulo) y $x = \frac{6(\sqrt{2}+1)}{5} - \frac{12(\sqrt{2}-1)}{25} y$ para $l$.