Dividiendo un rectángulo en 4 partes en la proporción 1:2:3:4, con solo 2 líneas

Question

Tengo un rectángulo compuesto por 30 cuadrados idénticos (5 de alto y 6 de ancho).

Al dibujar solo dos líneas en el rectángulo, divida el rectángulo en 4 partes donde las áreas estén en la proporción 1:2:3:4.

¿Cómo se puede lograr esto? Intenté durante una hora o dos, pero sin éxito.

Descargo de responsabilidad: Esta pregunta NO fue creada por mí.

Answer 1

Primero, divide el rectángulo por la mitad en su lado largo, como se sugiere en los comentarios. En el rectángulo izquierdo, marca el punto que está a $\frac{4}{5}$ de camino hacia arriba y centrado horizontalmente; haz lo mismo para el rectángulo derecho, pero marca el punto a solo $\frac{3}{5}$ de camino hacia arriba. Luego, dibuja la línea que conecta los dos puntos marcados. Dado que esta línea cruza los bordes izquierdo y derecho de todo el rectángulo, los cuatro pequeños triángulos mostrados arriba (limitados entre las líneas morada y gris más oscura) tienen la misma área, por lo que el rectángulo izquierdo está dividido en 1:4 y el rectángulo derecho en 2:3. En general, el rectángulo se ha dividido en cuatro partes con una proporción de 1:2:3:4.

Esta solución no requiere mover las piezas como en la respuesta de Donald Splutterwit.

Answer 2

Una solución alternativa muy similar a la de Parcly (imagen creada con cariño en Excel):

Answer 3

Tienes que mover las dos piezas a las posiciones correctas antes de hacer el segundo corte.

Answer 4

Existe una familia infinita de soluciones uniparamétricas. A continuación se muestra un algoritmo para encontrarlas todas. Como adelanto, señalaré de entrada que este algoritmo funciona igual de bien para cualquier subconjunto convexo de $\mathbb{R}^2$ - no solo el rectángulo particular de $5$ por $6$ en cuestión.

Para empezar, vamos a etiquetar las regiones en el rectángulo diseccionado con los números $1,2,3,4$, en correspondencia con su parte del área. Si observamos el orden de las cuatro regiones a medida que nos movemos en sentido horario alrededor del punto de cruce de las dos líneas, comenzando en la región $1$, hay $6$ posibilidades: $(1,2,3,4)$, $(1,2,4,3)$, $(1,3,2,4)$, $(1,3,4,2)$, $(1,4,2,3)$, $(1,4,3,2)$. La figura a continuación muestra un ejemplo, donde $n,p,q$ son cualquier permutación de $2,3,4$.

Paso 1 del algoritmo: Escoge una disposición de regiones a partir de las $6$ posibilidades.

Ahora examinemos qué sucede si elegimos una orientación particular para la línea $l$ (especificada por ejemplo por un vector unitario, o un ángulo con respecto a alguna línea de referencia) que discurre a lo largo del lado en sentido antihorario de la región $1$, como se muestra en la figura anterior. Sea $n$ el número de la región que es el vecino en sentido horario de la región $1$. Entonces queremos que $l$ divida el rectángulo en dos regiones, una con una fracción de $\frac{1+n}{10}$ del área total. Si imaginamos que movemos $l$ a lo largo del rectángulo, vemos que toda el área se desplaza de un lado de la línea al otro de manera monótona. Por el teorema del valor intermedio, existe una única línea $l$ que cumple con el trabajo.

Paso 2 del algoritmo: Elije una orientación para la línea $l$. Según los comentarios anteriores, esto especifica completamente la línea.

Ahora afirmo que la posición de la segunda línea $l'$ está únicamente especificada por las elecciones que ya hemos hecho. Esto se deduce de tres observaciones:

1. Para cualquier punto de intersección entre las dos líneas, existe una orientación única de la segunda línea $l'$ que obtiene correctamente la razón de áreas $1$ y $n$. Esto también se deduce del teorema del valor intermedio.
2. La orientación encontrada en el punto (1) varía monótonamente con la posición del punto de intersección a lo largo de la línea $l$.
3. Si el punto de cruce está en un extremo de la línea $l$, entonces elegir $l'$ como se menciona haría que una de las regiones $m$, $q$ del otro lado tenga área cero. Así que nuevamente, por el teorema del valor intermedio, existe una posición única del punto de cruce a lo largo de $l$ que obtiene la razón de las otras dos regiones correctamente.

Resumen: La división del rectángulo puede ser especificada de manera única por dos elecciones: La disposición $(1,n,p,q)$ y la orientación de la línea $l$.

Comentario:

1. Los ejemplos dados por Parcly Taxel y aPaulT corresponden a una orientación paralela al lado corto del rectángulo y a una disposición $(1,2,3,4)$ y $(1,3,2,4)$, respectivamente.
2. Además de funcionar para cualquier subconjunto convexo de $\mathbb{R}^2$, este algoritmo también funciona perfectamente para ratios distintos a $1:2:3:4$.
3. Es posible refinar este algoritmo en una fórmula explícita para las líneas $l$ y $l'$ como función de la disposición de regiones y la orientación de $l$. La razón por la que no lo he hecho es que la fórmula tiene una molesta definición por casos. La raíz del problema es que al mover una línea con una orientación fija sobre un rectángulo, el área en ambos lados cambia de manera no suave cada vez que se llega a una esquina.
4. Para utilizar este algoritmo de manera efectiva, a continuación presento una nueva solución al problema. Me he restringido al caso especial en el que las regiones $1$ y $4$ son adyacentes, porque en este caso la línea que las divide de las regiones $2$ y $3$ debe dividir el rectángulo en dos regiones de área igual. La manera única de hacer esto es que la línea correspondiente pase por el centro del rectángulo, lo que simplifica el algoritmo.

Las ecuaciones para las líneas en este caso son $y = \frac{5}{6} x$ para $l'$ (una diagonal del rectángulo) y $x = \frac{6(\sqrt{2}+1)}{5} - \frac{12(\sqrt{2}-1)}{25} y$ para $l$.