Principiante preguntas acerca de cómo funciona el trabajo

Question

De fondo

En primer lugar pido disculpas porque el siguiente son muy elementales y preguntas molestas sobre las funciones. Pero estoy seguro de que podría utilizar la ayuda. Es angustiante para mí que estoy tratando de mejorar en las matemáticas, pero no entiendo un concepto fundamental como funciones... por favor explique muy pedantically porque soy un poco lenta.

La declaración en cuestión

Vamos a decir: $\forall x,y \quad f(x) = g(x+y)$

Mis preguntas

1. ¿Es correcto decir que el $g(x+y)$ es una función de una variable o dos variables?

   • Mi intento: para mí está claro que $g(x)$ es una función de una variable y $g(x,y)$ es una función de dos variables. Pero no estoy seguro acerca de $g(x+y)$. Me imagino $g$ es una función de una función y el interior de la función puede ser pensado como "una variable" que tiene "dos variables." Que parece muy complicado...

2. ¿Cuáles son algunos ejemplos triviales de la declaración anterior? Mis intentos:

   • Mi ejemplo trivial: $f(x)=C$ $g(x+y) = x+y$

   • Mi ejemplo trivial B: $f(x)=C$ $g(x+y) = (x+y)^{30} + y^{x} - x$

   • Mi ejemplo trivial C: $f(x) = 42$ $g(x+y) = 42$

   • Mi ejemplo trivial D: $f(x) = 11$ $g(x+y) = 5u - u$

   • Son aquellos aceptable ejemplos triviales? En mi último ejemplo que me cambié a $u$ en fin... es un tipo de fotografía en la oscuridad. Me puede dar algunos ejemplos triviales si la mina está mal?

3. Es cierto que $\forall x,y \quad$ si $f(x) = g(x,y)$, entonces el lado izquierdo debe ser una constante?

   • Sé cómo probar si es $g(x+y)$, pero no por $g(x,y)$. Si esto no es cierto me puedes dar un trivial contador de ejemplo?

4. Digamos que $h(x,y)$ es una función de la distancia. Entonces se puede decir $h(x,y) = k(x^{2}+y^{2})$. Usted no tiene que poner la raíz cuadrada de la parte de la función de distancia en $k$ debido a que puede ser parte de la función de $k()$ sí. Pero yo creo que no se puede "simplificar" más allá de $x^{2}+y^{2}$. La correcta? Me parece interesante que $k((x^{2}+y^{2})^{50})$ puede ser llamado una "función basada en la distancia" a pesar de que es alimentado a la 50 y la fórmula de la distancia es alimentado a 0.5...

Gracias por su ayuda y paciencia!

Answer 1

Estas son las grandes preguntas!

¿Es correcto decir que el $g(x+y)$ es una función de una variable o dos variables?

En primer lugar, permítanme pedantically distinguir entre el $g$ (la cosa que se enchufe de entrada de valores) y $g(x+y)$ (el resultado de conectar $x+y$ a $g$), ambos de los cuales son a menudo llamados "funciones".

Centrarse en $g$ primero de todos. Los valores que conecte pueden ser variables o constantes, o lo que sea(*). Puede ser $x+y$, o puede ser $5$, o puede ser $x+y-z+abc-d^5$, pero sólo se permite conectar una cosa en $g$, ya que sólo tiene espacio para una entrada. El término correcto para "un valor que enchufe" es un argumento. Por lo $g$ toma un argumento.

Por otro lado, es claro que hay dos variables que se ven aquí: $x$$y$. ¿Por qué puede ser? Bien, como se ha señalado con razón, este argumento concreto hemos enchufado en algún tipo de combinación (de verdad: la función!) de estas dos variables. Vamos a darle que la función de un nombre, decir $\mathrm{sum}(x,y) = x+y$ (una función que toma dos argumentos).

Así que usted puede reescribir $g(x+y)$$g(\mathrm{sum}(x,y))$, si te gusta ese tipo de cosas. Tenga en cuenta que usted está todavía enchufar una cosa en $g$: es sólo que ahora se llama $\mathrm{sum}(x,y)$. Y hay todavía dos variables presentes. Nada ha cambiado aquí.

Hay algunos inherente "dos-ness" acerca de $g(x+y)$, aunque? Bueno, no necesariamente. He aquí otra función: $\mathrm{bigsum}(w,x,y,z) = w+x+y+z$. Esta toma cuatro argumentos; pero no hay nada que me impida mirar lo que pasa cuando voy a conectarlo en $g$$w = -z$, es decir, $$g(\mathrm{bigsum}(-z,x,y,z)).$$ Pruébalo, y verás esto también se evalúa a $g(x+y)$. O esta es otra función: $\mathrm{forgetful}(a,b,c,d,\dots,x,y,z) = x+y$ - una función, de 26 de argumentos (pero la mayoría de ellos resultan ser redundante).

El mensaje es: cada vez que alguien escribe abajo (por ejemplo) una fórmula, debe(!) también se subyacente contexto para que la leche de fórmula. En el mundo de funciones, esto normalmente supone la especificación de un dominio, es decir, un rango admisible de los valores de entrada. Estos no vienen gratis con fórmulas: es su trabajo, como el matemático, para asegurarse de que están bien especificadas (de modo que, por ejemplo, todo el mundo la lectura de su obra comprende lo que son, o que no querer cambiar algo sutil acerca de la función en el medio de una larga pieza de trabajo, o lo que sea).

(*) En la práctica, los términos matemáticos: realmente no hay mucho de una distinción. ¿Qué significa "variable" significa de todos modos, aparte de "algunas constantes no sé" o "un marcador de posición para algunas constantes"?

Pienso que otras personas han dirigido sus otras preguntas, pero un comentario final de mí:

¿Cuáles son algunos ejemplos triviales de la declaración anterior? Mis intentos:

Otros han dicho que por qué tres de ellos están mal. En realidad, me gustaría ser pedante aquí: (a) y (b) son incorrectas, y (d) es underspecified - en otras palabras, se necesita más información antes de que tenga sentido. Por ejemplo:

• si $u$ es una nueva variable independiente, entonces la fórmula no tiene ningún sentido.
• si $u$ secreto es una función, y se plug $x+y$ (o algo que sólo depende de $x+y$), la fórmula tiene sentido, pero probablemente este no sea válido contraejemplo.
• si $u$ sólo pasa a ser su nombre favorito para el número de $2.75$, entonces la fórmula tiene sentido y esto es válido contraejemplo.

De nuevo, el contexto importa.

Answer 2

Tal vez debería aclarar la definición de función es una relación entre un conjunto de entradas y un conjunto de permisible salidas con la propiedad de que cada entrada está relacionada con exactamente una salida.

Por lo tanto, en números reales, en general, una función de $f$ tiene un conjunto de entrada de $\mathbb{R^n}$, que elementos son n-dimensional de los vectores, y un conjunto de salida $\mathbb{R^m}$ que elementos son m-dimensional de los vectores.

Por ejemplo, la función de $$g(x,y) = x+y$$

es una relación con un conjunto de entrada de $\mathbb{R^2}$ y un conjunto de salida $\mathbb{R}$ que es formalmente expresada por

$$g: \mathbb{R^2}\to\mathbb{R},\quad(x,y)\to x+y$$

y es denotado como una función de variables separables.

De lo contrario,$$g(x+y) = x+y \quad$$ (that is $ g: \mathbb{R}\to\mathbb{R} \quad t\t$) se denota como una función de una sola variable.

Answer 3

Una función se define en términos de conjuntos. Las funciones pueden actuar sobre los elementos o de los puntos y, muy importante, también en los conjuntos.

Los dos centrales y formales utilizados para definir una función son:

• Un conjunto llamado Dominio, $D$.
• Un conjunto llamado el Co-dominio, $C$.

$f: D \to C$ significa: $\forall x \in D$, $f(x) \in C$.

• El conjunto $G=\{f(x)|x\in D\} \subseteq C$ se llama la Imagen de $f$.
• Para cada $U \subseteq C$, la $f^{-1}(U) = \{x|f(x)\in U\} \subseteq D$ (Donde solía acción en conjuntos) se llama la Preimagen de $U$. ($f^{-1}$ en este contexto se define $\mathcal{P}(C)\to \mathcal{P}(D)$, y no es la inversa de a $f$ que no necesariamente tiene que existir)

Ejemplo: El valor absoluto de la función en el dominio de los números reales para el codominio de los números reales: $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=|x|= \begin{cases} x & x \geq 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}$$

La imagen en este caso es $G=\{x|x\geq0\} \subset \mathbb{R}$.

Para cada $x \in G$ la preimagen es $f^{-1}(\{x\})=\{x,-x\}$ debido a la regla de $x \mapsto |x|$ mapas positivos y negativos versiones de $x$ positivo $|x|$.

Consideremos el producto Cartesiano $D \times C$. todos los subconjuntos de a $F \subseteq D \times C$ son llamadas relaciones.

Una relación $R$ es una función si y sólo si

1.1: $xRy \land xRz \implies y=z$. De forma equivalente: $(x,y),(x,z)\in R \implies y=z$.

1.2: $\forall x \in D, \exists y \in C$ tal que $(x,y) \in R$

Una función representada por la relación $R$ puede ser:

2.1: Inyectiva: $xRy \land zRy \implies x=z$. ($|x|$ no es inyectiva)

2.2: Surjective: $C=G$. yo.e la imagen es todo el codominio.

2.3: Bijective: 2.1 y 2.2. En este caso hay dos caras único inversa.

1: $g(x+y)$ es una composición de una función de $h: D \times D \to T, h(x,y)=x+y$ sobre la función de $g: S \to A$ dentoed $g \circ h$ con la restricción de que la imagen de $h$ que es un subconjunto $I \subseteq T$ es el dominio de $g$: $S$. De forma más precisa generalmente esta es una restricción de $g$$I \subseteq S$.

En la ecuación de $f(x)=g(x+y)$ es útil para "arreglar" $x$. En ese caso, el LHS es fijo. Pero $y$ es variable de $h$ y variando $y$ usted puede obtener la imagen completa de $h$, independientemente de $x$. Esto significa $g$ no depende de $y$.

Answer 4

Hay un montón de interesantes confusión en la pregunta, así que vale la pena tener preguntó. En lugar de tratar de responder punto por punto, voy a tratar de responder a (4):

Digamos que $h(x,y)$ es una función de la distancia. Entonces se puede decir $h(x,y)=k(x^2+y^2)$.

Usted tiene que exactamente a la derecha. $h$ es una función con valores reales de dos variables reales. Así es la función $$ d(x,y) = x^2 + y^2 $$ donde el nombre de "$d$" es el elegido para recordarnos de la "distancia" (y está bien que tenga en cuenta que usted puede saltar la raíz cuadrada). Claramente $d$ es una función de dos variables.

Cuando dices "$h$ es una función de la distancia" que significa que hay una cierta función de $k$ tal que $h$ $k$ compuesto con $d$: $$ h(\text{lo}) = k(d(\text{lo})). $$ Pero $h$ es todavía una función de dos variables: toma dos variables para especificar el $x$ $y$ por separado en "lo que sea", si ese es el argumento para $h$ o el argumento de $d$.

Geométricamente, "$h$ es una función de la distancia" sólo cuando se tiene es constante en cada círculo centrado en el origen.

Creo que se puede tomar esta explicación y lo utilizan para dar sentido a la "$g(x+y)$" en (1) y (2). En particular, el segundo punto en (2) no tiene sentido desde $g$ escrito sólo depende de la suma de $x+y$ y no se puede extraer por separado $x$ $y$ a calcular lo que has escrito en el lado derecho de la igualdad.