Utilizando el quinto raíces de la unidad para encontrar las raíces de $(z+1)^5=(z-1)^5$

Question

La pregunta que estoy trabajando se inicia con:

Encuentra las cinco de la quinta raíces de la unidad y, por tanto, resolver los siguientes problemas

Lo he hecho y resuelto varias preguntas a través de este, sin embargo, cuando llegué a la última pregunta (la del título) tengo perplejo.

Los cinco quinta raíz de la unidad se $z= \cos({2\pi k \over 5})+i\sin({2\pi k \over 5}), k\in \mathbb{Z}$ o más simplemente $w=\cos({2\pi \over 5})+i\sin({2\pi \over 5})$ y las raíces se $z=1, w, w^2, w^3, w^4$.

Ahora, con esta información se supone que vamos a encontrar las raíces de $(z+1)^5=(z-1)^5$. Sin embargo, después de haber probado algunos de los diferentes enfoques no sé cómo proceder. Traté de simplificar a $5z^4+10z^2+1=0$, de la que supongo que puedo usar la ecuación de segundo grado, pero que no utiliza las cinco de la quinta raíces de la unidad y así no conseguiré mi respuesta en términos de $w$ (que es el requisito).

Answer 1

Habiendo calculado el quinto raíces de la unidad $1, w, w^2, w^3, w^4$, es decir, las soluciones a la ecuación de $ u^5 = 1$, podemos refundición de nuestra ecuación de $ \left( \frac{z+1}{z-1} \right) ^5 = 1$ $z$ no es igual a $1$.

Es fácil comprobar que $z = 1$ no es una solución a la ecuación de $(z+1)^5 = (z-1)^5$. Así, por $z$ no es igual a $1$,$ \frac{z+1}{z-1} = 1, w, w^2, w^3, w^4 $. Manipulación Simple le permitirá expresar $z$ en términos de estas raíces.

Tenga en cuenta que la configuración de $ \frac{z+1}{z-1} = 1 $ no dará una solución. Esto puede ser previsto, dado que la ecuación que estamos resolviendo es el cuarto grado y por lo tanto tiene en la mayoría de los 4 diferentes raíces.