$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1}{3x} $ ayudar por favor?

Question

Así que tengo que encontrar la

$$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1}{3x} $$

Yo primero resuelto por L'hôpital y consiguió $\frac{2}{3}$, pero ahora que he leído cuidadosamente y se dice en mi libro que no debo resolver esto a través de L'hôpital..consejos?

Answer 1

Un "divertido" si no tan edificante prueba.

Sabemos que: $$\lim_{x\to 0}\frac {e^x-1}{x} = 1$$

Y tenemos:

$$\lim_{x\to 0} \frac{e^x+1}{3} = \frac{2}{3}$$

Ahora multiplique.

Answer 2

sugerencia sea y=2x, entonces$$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{3x}=\frac23\lim_{2x\to0}\left(\frac{e^{2x}-1}{2x}\right)=\frac23\lim_{x\to0}\frac{e^{y}-1}{y}$$ then use : $\displaystyle\exp(y)=\sum_{k=o}^\infty\frac{y^k}{k!}$

$$e^y-1=\sum_{k=1}^\infty\frac{y^k}{k!}$$

Answer 3

Sugerencia: La derivada de $e^{2x}$ $0$ es $$\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-e^{2\cdot 0}}{x-0}$$

Answer 4

$$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{3x}=\frac23\lim_{2x\to0}\left(\frac{e^{2x}-1}{2x}\right)=\frac23$$

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Alternativamente,si se nos permite el uso de $$e^y=1+\frac y1+\frac{y^2}{2!}+\cdots $$

A continuación, $$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{3x}$$ $$=\frac13\lim_{x\to0}\frac{1+2x+\frac{(2x)^2}{2!}+O(x^3)-1}x$$

$$=\frac13\lim_{x\to0}(2+O(x))=\frac23$$

Answer 5

Deje $e^{2x}-1=y$ que los rendimientos de

$$\displaystyle \lim_{y\to 0} \frac{2y}{3 \ln(1+y)}=\frac{2}{3}$$ debido a $\lim_{y\to0} (1+y)^{1/y}=e$

La hermana. (Es el más elemental de la prueba que yo sepa)