Es esta matriz positiva semidefinite en general?

Question

para la matriz escrito a continuación me preguntaba si se puede demostrar que es positivo-semidefinite para$n>3$$0< \alpha<1$. (O no. Para $n=2, 3$ funciona mostrando que todos los principales menores de edad son no negativos.)

$$ C_{n,n} = \begin{pmatrix} 1 & \alpha^1& \alpha^2 & \cdots & \alpha^{n-1} \\ \alpha^1 & 1 & \alpha^1&\cdots & \alpha^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha^{n-1} & \alpha^{n-2} & \alpha^{n-3}& \cdots & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha^0 & \alpha^1& \alpha^2 & \cdots & \alpha^{n-1} \\ \alpha^1 & \alpha^0 & \alpha^1&\cdots & \alpha^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha^{n-1} & \alpha^{n-2} & \alpha^{n-3}& \cdots & \alpha^0 \end{pmatrix} $$

Answer 1

Tomando la primera columna, y la resta de a $\alpha$ los tiempos de la columna 2, obtenemos $\det C_{n,n}=(1-\alpha^2)\det C_{n-1,n-1}$, por lo tanto podemos concluir por Sylvester criterio.