Solucionar $x+3y=4y^3,y+3z=4z^3 ,z+3x=4x^3$ en reales

Question

Encuentra las respuestas de este sistema de ecuaciones en reales$$ \left\{ \begin{array}{c} x+3y=4y^3 \\ y+3z=4z^3 \\ z+3x=4x^3 \end{array} \right. $$

Las cosas O las han hecho: suma de estas 3 ecuaciones dar $$4(x+y+z)=4(x^3+y^3+z^3)$$ $$x+y+z=x^3+y^3+z^3$$

También he tratado de mostrar que el $x,y,z$ debe ser de entre $1$ $-1$($(-1,-1,-1)$$(1,1,1)$ son respuestas de este sistema de ecuaciones) pero no tuvo éxito.

Answer 1

Supongamos que tuvimos $x>1$. Entonces, desde el $4x^3-3x > x$,$z>x$, y del mismo modo $y>z$, $x>y$, contradicción. Por simetría, llegamos a la conclusión de que $x,y,z\in [-1,1]$.

Así que no existe $\alpha,\beta,\gamma \in [0,\pi]$ con $x=\cos \alpha$, $y=\cos \beta$, $z=\cos \gamma$. Por la fórmula de la $\cos 3\alpha$, podemos reescribir el sistema de ecuaciones como:

$$ \left\{ \begin{array}{c} \alpha \equiv \pm 3 \beta\ (\operatorname{mod}\ 2\pi) \\ \beta = \pm 3 \gamma\ (\operatorname{mod}\ 2\pi) \\ \gamma = \pm 3\alpha\ (\operatorname{mod}\ 2\pi) \end{array} \right. $$

Así que tenemos $\pm 27\alpha \equiv \alpha$, lo $26\alpha \equiv 0$ o $28\alpha \equiv 0$. Nos encontramos con que $\alpha = \pi k / 13$ o $\alpha = \pi k / 14$ para un entero no negativo $k$.

Esto le da a $27$ soluciones,* $x=\cos{\frac{\pi k}{13}}$$0\leq k\leq 13$, e $x=\cos{\frac{\pi k}{14}}$$1\leq k\leq 13$.

Por ejemplo, una solución es $(\cos\frac{\pi}{14},\cos\frac{3\pi}{14},\cos\frac{9\pi}{14})$.

* Este es exactamente el número que esperar, hasta la multiplicidad, cuando intersección de tres cúbicos superficies; en particular, no hay más soluciones a través de $\mathbb{C}$.

Answer 2

Considere la posibilidad de $f(x) = 4x^3 - 3x$. Tenemos: $f'(x) = 12x^2 - 3 = 0 \iff x = \pm \dfrac{1}{2}$. Por lo tanto:

Si $x \in \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$$f'(x) < 0$, e $f$ disminuye. Esto significa:

Si $x > y > z$, entonces: $x = f(y) < f(z) = y$, una contradicción. Y podemos obtener una contradicción para cualquier otro desigualdades de $x,y,z$ utilizando el mismo argumento. El mismo argumento funciona para $x \leq -\dfrac{1}{2}$ o $x \geq \dfrac{1}{2}$ desde entonces $f$ aumenta.

Por si $x > y = z$, entonces: $y = f(z) > f(x) = z$, la contradicción de nuevo. Por lo tanto debemos tener:

$x = y = z$, y tenemos: $x = y = z = \pm 1$ $0$