La hormiga de la posición en cada momento $n\in\mathbb{N}$ es una variable aleatoria que podríamos modelo en el plano complejo como $Z_0=0$, $Z_n=Z_{n-1}+\Delta Z_n=\sum_{k-1}^n\Delta Z_k$ para los movimientos $\Delta Z_n=e^{i\Theta_n}$ que se yo.yo.d. y que dependen de uniforme que yo.yo.d. al azar varia $\Theta_n=2\pi\,U_n\sim\operatorname{Unif}\left(0,2\pi\right)$ .
Si nosotros también vamos a
$$
R_n=|Z_n|\,,
\qquad
S_n=\sup\limits_{1\le k\le n}R_n
\qquad
\text{y}
\qquad
T=\inf\left\{n\mediados de R_n>R\right\}
$$
la primera vez que los $n$ que $R_n>R=3$,
entonces estamos pidiendo $\mathbb{E}[T]$,
que puede calcularse como
$$
\mathbb{E}[T]=\sum_{n=R}^{\infty}n\cdot\mathbb{P}[R_{n-1} < R < R_n]\,.
$$
Ahora, si nos
deje $F_n(r)=\mathbb{P}[R_n < r]$ y
deje $f_n(r)=\mathbb{P}[R_n = r]$ ser el PDF y el CDF de $R_n$,
podemos ver que $F_n(n)=1$, y
podemos ser capaces de determinar estas funciones de manera inductiva, con una recursividad:
$$
\eqalign{
F_n(r) y=
\mathbb{P}[R_n < r]\\&=
\mathbb{P}[R_{n-1} < r-1]+
\mathbb{P}[R_n<r\,|\,r-1< R_{n-1}< r+1]
\\&=
F_{n-1}(r-1)+
\int_{i-1}^{i+1}
f_{n-1}(s)\cdot
\mathbb{P}[R_n<r|R_{n-1}=s]
\,ds
}
$$
El último integral, ciertamente, puede ser dividido en los dos casos
$s<r$ $s>r$ , por lo que la probabilidad indeterminada dentro de
el integrando puede ser evaluado usando la geometría restando
el área de los sectores de círculos y triángulos para $s>r$):
$$
\eqalign{
\mathbb{P}[R_n<r|R_{n-1}=s]&=
\left\{
\begin{align}
1-\frac{\beta -r^2 \alpha}{2\pi} && s \le r\\
\frac{A_\gamma+r^2A_\alpha}{2\pi} && s \gt r\\
\end{align}
\right.
}
$$
donde los ángulos $\alpha,\beta,\gamma$
puede ser expresado usando la ley de cosenos:
$$
\eqalign{
\cos\alpha &=\frac{r^2+s^2-1}{2rs}\\
\cos\beta &=\frac{r^2-s^2-1}{2}
\qquad\text{o}\qquad\sin\beta=r\,\sin\alpha\\
\cos\gamma &=\frac{-r^2+s^2+1}{2}=-\cos\beta\\
}
$$
(o resuelto a partir de las ecuaciones
$re^{i\alpha}=s+e^{i\beta}$
& $\beta+\gamma=\pi$, de los cuales uno
se puede inferir que los diagramas para cada caso)
y $A_\alpha=2\alpha-\sin2\alpha$
es dos veces el área de
$\{z\in\mathbb{C}:\,|z|>r,\,|z-s|<1\}$.
Bueno, es un comienzo.
Seguramente hay una forma más elegante de recursividad;
tal vez @carlop ha encontrado.
