La conservación de la ang. impulso para las rutas de llegar a un eje de rotación

Question

Mi pregunta es la siguiente: si tuviéramos la trayectoria de una partícula, finalmente, llegar a un punto de un eje de rotación $ \vec{u} $ (tomar eso como ser el eje z por conveniencia) por un ángulo de $ s $ Noethers Teorema de dar una conserva de la cantidad?

Más específicamente (déjame ir a través de los cálculos y detalles de primera)

1. Declaración de el Teorema de Noether

Si una de Lagrange $ \mathcal{L}(\vec{q_i}, \dot{\vec{q_i}}, t) $ admite un parámetro-grupo de diffeomorphisms $ h^s : \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{M} $ tal que $ h^{(s=0)} (\vec{q_i})= \vec{q_i} $, entonces no es una cantidad conservada localmente dado por $$I = \sum_{i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}} \left.\frac{d}{ds}(h^s(q_i))\right\vert_{s=0}$$

1. La aplicación Simple de Lagrange

Asumir un potencial libre de Lagrange $ \mathcal{L} = \frac{m}{2}( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 ) $. Una adecuada transformación puede ser dada por $$ h^s (x,y,z)= \begin{pmatrix} \cos(s) & -\sin(s) & 0 \\ \sin(s) & \cos(s) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

La elaboración de la conserva de cantidad, tenemos que la componente z del momento angular $ L_z = m \dot{y}(t) x(t) - m \dot{x}(t) y(t) $ es conservada por cualquier camino de $ (x(t),y(t),z(t)) $.

1. El problema: Si esta trayectoria podría incluir algún punto en el eje de rotación z, $ h^s(q_i) $ 0 allí y por la conservación, con valores de 0 a lo largo de la ruta. Sin embargo, sabemos que el momento angular se conserva. Así que, en todo rigor - es esta inconsistencia enmendable o un signo de algún problema más grande?

Answer 1

OP escribió (v3):

La elaboración de la conserva de cantidad, tenemos que la $z$-componente del momento angular $ L_z = m x(t)\dot{y}(t) - m y(t)\dot{x}(t)$ es conservada por cualquier camino de $(x(t),y(t),z(t))$.

Así, cabe destacar que la ley de la conservación en el teorema de Noether es un llamado en la cáscara de conservación de la ley. Esto hace que no se mantenga para cualquier curva (off-shell) ruta de acceso que se podía cocinar. Sólo tiene para las clásicas rutas de acceso, es decir, soluciones de Euler-Lagrange las ecuaciones. Para el OP ejemplo de una partícula libre, esto significa que tiene una velocidad constante a lo largo de una línea recta. Si es un clásico de la trayectoria se cruza con el $z$-eje (en un punto), entonces la partícula sería, de hecho, tienen momento angular $L_z(t)=0$ todos los $t$.

Answer 2

No hay ninguna incoherencia. $L_z$ se conserva, sino $h^s$ no lo es; por lo tanto no es una paradoja que $h^s$ no tiene ninguna acción sobre la trayectoria en un cierto tiempo y no trivial de la acción a los demás.

Por otro lado, si la trayectoria nunca cruza la $z$ eje, a continuación, $L_z=m(\dot y x-\dot x y)$ también se desvanecen. Desde $L_z$ es conservada, se puede concluir que $L_z\equiv0$ de todos los tiempos. Esto significa que el movimiento de la partícula estará limitado al plano definido por la $z$ eje y la velocidad de la partícula cuando se cruza la $z$ eje.

Para probar esto, usted puede ver la ecuación de $L_z=0$ como una ecuación diferencial, que puede frase como $$\frac{\dot y} y=\frac{\dot x}x,$$ y que se integra fácilmente a $$\log(y)=\int\frac{\text dy}{y}=\int\frac{\text dx}{x}=\log(x)+C$$ por lo $x$ $y$ son proporcionales, y por lo tanto limitada a un avión. Esto es lo que se puede concluir a partir de la partícula nunca cruce de la $z$ eje en un sistema con simetría rotacional alrededor de ese eje.