Grupos de orden $pqr$ y sus subgrupos normales

Question

Queremos demostrar que un grupo, digamos $G$ , de orden $pqr$ donde $p \gt q \gt r$ tiene un Sylow normal $p$ -y deducir que tiene un subgrupo normal de orden $pq$ .

Sé cómo mostrar $G$ tiene un Sylow normal $p$ -subgrupo o sylow normal $q$ -subgrupo, pero no el resto. Gracias por sus consejos.

Answer 1

Usted sabe que $G$ tiene un subgrupo normal $N$ de orden $p$ o $q$ . Supongamos que $|N| = p$ Entonces ya está hecho, así que supongamos que $|N| = q$ . Considere el grupo $G/N$ que tiene orden $pr$ . Por el teorema de Cauchy, $G/N$ tiene un subgrupo $K$ de orden $p$ . Como este grupo tiene índice $r$ que es el primo más pequeño que divide a $|G/N|$ , $K \triangleleft G/N$ .

Ahora, dejemos que $\pi : G \to G/N$ sea el mapa cociente natural, entonces $H := \pi^{-1}(K)$ es un subgrupo normal de $G$ que tiene orden $|K||N| = pq$ .

Como antes, $H$ tiene un subgrupo normal $P$ de orden $p$ . Ahora afirmo que $P \triangleleft G$ . Supongamos que $g \in G$ entonces $gHg^{-1} \subset H$ . Por lo tanto, $$ gPg^{-1} < H $$ Así que, $gPg^{-1}$ es un $p$ -Silow subgrupo de $H$ . Pero $P$ es el único $p-$ Subgrupo Sylow de $H$ . Por lo tanto, $$ gPg^{-1} = P \quad\forall g \in G $$ Por lo tanto, $P \triangleleft G$ .