Probar la convergencia de la serie

Question

El problema dice:

a) Si $\sum_1^\infty {a_n}$ converge y ${b_n}=n^\frac{1}{n}{a_n}$, $ \sum_1^\infty{b_n}$ converge, y

b) Si $\sum_1^\infty {a_n}$ converge y ${b_n}=\frac{{a_n}}{(1+|{a_n}|)}$, $\sum_1^\infty {b_n}$ converge.

Para a) Tenemos que ${c_n}=n^\frac{1}{n}$ es un aplicándose de manera disminución de la secuencia (por $n>e$) y que está delimitada desde arriba por $e^\frac{1}{e}$, lo $\sum_1^\infty {a_n}{c_n}=\sum_1^\infty {b_n}$ converge( Abel de la prueba).

B) Tenemos que ${c_n}=\frac{1}{(1+|{a_n}|)}$ es monótona decreciente de la secuencia, y está delimitada desde arriba por 1, por lo $\sum_1^\infty {a_n}{c_n}=\sum_1^\infty {b_n}$ converge.

Eso es todo, me gustaría saber si mi prueba de que es correcto, cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

En (a) es la correcta con un detalle: desde $c_n$ está disminuyendo, usted debe comprobar si está delimitada desde abajo.

Problema (b), es un poco raro ya que no es cierto si no suponemos que cualquier otra cosa, por ejemplo, que el $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge absolutamente. He aquí un contraejemplo: $a_n$ es la secuencia de todos los términos de la siguiente suma:

$$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{k^2} \left[ -\frac{1}{k} + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k} \right] = -1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \underbrace{- \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}_{\text{4 times}} \underbrace{ - \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} }_{\text{9 times}} - \ldots $$

Claramente converge a $0$. La correspondiente suma de $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ es

$$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{k^2} \left[ \frac{ -\frac{1}{k} }{1+\frac{1}{k}} + \frac{ \frac{1}{2k} }{1+\frac{1}{2k}} + \frac{\frac{1}{2k}}{1+\frac{1}{2k}} \right] = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{k^2} \frac{1}{k} \left[ \frac{1}{1+\frac{1}{2k}} - \frac{1}{1+\frac{1}{k}}\right] \\ = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{k^2} \frac{1}{2k^2} \cdot \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{k} \right) \left( 1+\frac{1}{2k} \right)} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{k} \right) \left( 1+\frac{1}{2k} \right)}$$

que diverge claramente.

Answer 2

Para a) por límite de comparación $\sum b_n$ es absolutamente convergente$$\left|\dfrac{b_n}{a_n}\right|=n^{\frac1n}\to1$$ For b) $$a_n\to 0\implies |a_n|\lt 1\,\,\,\,\text{for sufficiently large}\,\,\,n\implies|b_n|\le\dfrac{|a_n|}{2}$$