Supongamos que tengo una secuencia recursiva $\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_{n}}{2}$ . Claramente, la secuencia converge hacia cero. Ahora, supongamos que defino una secuencia "inversa" $\displaystyle b_{n+1} = 2b_{n}$ . Si bien la secuencia es claramente divergente, ¿podría saber que a partir del conocimiento que $a_{n+1}$ ¿converge? ¿Existe alguna secuencia que converja, cuya "inversa" también converja?
.. y ¿podría definirse esta secuencia "inversa" de forma más intuitiva?
Digamos que la secuencia $(a_n)$ definido por $a_{n+1} = f(a_n)$ para la biyectiva $f$ converge a $a$ .
Si $f$ es continua en $a$ entonces $$0 = \lim\limits_{n \to \infty} a_ {n+1}-a_n = \lim\limits_{n \to \infty} f(a_n)-a_n = f(a)-a$$
Así que $f(a)=a$ . Pero entonces también se deduce que $f^{-1}(a)=a$ . Así que si la secuencia inversa se inicia con el valor de la semilla $b_0 = a$ la secuencia inversa también convergerá.
No soy $100$ % seguro de lo que se puede decir para tales recurrencias convergentes donde $f$ no es continua en el límite.
Considere la secuencia $a_{k+1} = \sinh(a_k)$ . Si se inicia en $a_0=\exp(i \pi/4)$ entonces esto converge a $\lim_{n \to \infty} a_n=0$ .
Ahora mira la inversa $ a_{k-1} = \operatorname{asinh}(a_k)$ . se puede retroceder para llegar a $a_0$ de nuevo y vaya a $\lim_{n \to -\infty} a_n=0$ Cuando me encontré con esto me sorprendió mucho. Vea una foto aquí: 
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