Cómo construir co-ecualizadores en $\mathbf{Top}$?

Question

Cómo construir co-ecualizadores en la categoría de $\mathbf{Top}$?

Bien, hacer co-ecualizadores en $\mathbf{Top}$ existe en absoluto?

Answer 1

Si $f,g:X\to Y$ están en paralelo dos morfismos, entonces el coequalizer $c:Y\to Z$ $f,g$ será el cociente mapa a $Z=Y/\sim$ donde "$\sim$" es el más pequeño de equivalencia de la relación tal que $f(x)\sim g(x)$. Así es la coequalizer en $\mathbf{Set}$ equipado con la topología cociente.

Esto no es ninguna casualidad. Todos colimits en $\mathbf{Top}$ tienen el mismo conjunto subyacente como la colimit de la subyacente se pone en $\mathbf{Set}$. En otras palabras, el olvidadizo functor $U:\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ conserva colimits. Esto es debido al hecho de que tiene un derecho adjuntos, a saber, el functor $\mathbf{Set}\to\mathbf{Top}$ que se arme un set con la topología indiscreta.

Edit: con Respecto a la OP comentarios, la adjointness sólo garantiza que SI el coequalizer existe, entonces su conjunto subyacente (y el mapa del juego) es el coequalizer (diagrama) en $\mathbf{Set}$.
Para mostrar que $Y/∼$ es el coequalizer en $\mathbf{Set}$, vamos a $h:Y\to W$ ser una función con $hf=hg$. A continuación, la relación $h(y)=h(y')$ es una relación de equivalencia en $Y$ que contiene la relación generada por $f(x)∼g(x)$ desde $h(f(x))=h(g(x))$. Por lo tanto, el mapa de $k:Y/∼\to W,\ k(c(y))=h(y)$ está bien definido y es, obviamente, la única función de $k:Y/∼\to W$ tal que $kc=h$.
Para mostrar que $c$ es también el coequalizer en $\mathbf{Top}$, sólo tenemos que asegurarnos de que $c$ es continuo, y que la única función de $k:Z\to W$ satisfacción $kc=h$ es continua. Pero $c$ es continua porque nos equipar $Z$ con la topología final, y esta es también la razón por la $k$ es continua si $kc=h$ es. Por lo $c:Y\to Z$ es el coequalizer en $\mathbf{Top}$.

Demostrando que $G:\mathbf{Set}\to\mathbf{Top},\ X\mapsto(X,\tau_{id})$ es correcto adjunto a $U$ es fácil. Sólo tenga en cuenta que $((X,\tau_{id}),\ 1:UGX\to X)$ es universal de$U$$X$: Para cada mapa del juego de $f:Y\to X$ tenemos un mapa continuo $(Y,\tau_Y)\to(X,\tau_{id})$, es decir, $f$ sí.

Answer 2

Sin duda existen. Si $F: J \to \mathbf{Top}$ es un pequeño diagrama, entonces el conjunto subyacente de $\text{colim}\; F$ es el colimit de $U \circ F$ calculado en $\mathbf{Set}$ donde $U: \mathbf{Top} \to \mathbf{Set}$ es el subyacente-set functor. Este conjunto está equipado con el más grande de la topología tal que las funciones $UF(j) \to \text{colim}\; UF$ especificado por el universal cocone en $\mathbf{Set}$ son todas continuas mapas; este espacio topológico es $\text{colim}\; F$.