Encontrar asintótica para $s(n)=\min\{m\in{\mathbb N}\mid C_n^m\cdot e^{-m^3/(\ln m)^{10}}<1\}$

Question

Tengo alguna extraña función: $s(n)=\min\{m\in {\mathbb N} \mid C_n^m\cdot e^{-m^3/(\ln m)^{10}}<1\}$ y necesito encontrar asymptotics. Tengo una solución para esto, salvo un último paso, creo. Por lo que cualquier ayuda se agradece.

La solución es la siguiente: en primer lugar, observamos que las $m = o(\sqrt n)$, en el resto de casos ($m \ge \sqrt n$) exponente disminuye mucho más rápido en comparación con el crecimiento de coeficiente binomial. Así, para el caso de $m = o(\sqrt n)$ podríamos escribir la siguiente cadena de asymptotical) igualdades:

\begin{align} C_n^m\cdot e^{-m^3/(\ln m)^{10}} & \sim \frac{n^m}{m!} \cdot e^{-m^3/(\ln m)^{10}} \\ &= e^{m \ln n - \ln m! - m^3/(\ln m)^{10}} \\ &\sim e^{m \ln n - m \ln m \cdot (1 + o(1)) - m^3/(\ln m)^{10}} \\ \end{align}

Para la última ecuación a ser menos de $1$, exponente argumento debe ser menor que/asintóticamente igual a $0$:

\begin{align} & m \ln n - m \ln m \cdot (1 + o(1)) - \frac{m^3}{(\ln m)^{10}} \sim 0 \\ & \ln n - \ln m \cdot (1 + o(1)) - \frac{m^2}{(\ln m)^{10}} \sim 0 \\ & \ln n - \frac{m^2}{(\ln m)^{10}} \cdot (1 + o(1)) \sim 0 \\ \end{align}

Y en la última ecuación debo encontrar la $m$ en términos de $n$. Y no sé cómo puedo hacer eso. Puede ser que me perdí de algo en los pasos anteriores y $(\ln m)^{10}$ podría ser eliminado de alguna manera. Pero no veo la manera de hacerlo.

Gracias de antemano por las ideas.

Answer 1

$\def\tfrac#1#2{{\textstyle\frac{#1}{#2}}}$ Su estrategia parece estar en el directo de la dirección, pero usted necesita para trabajar más y ser más riguroso, especialmente cuando se utiliza expansiones asintóticas de los coeficientes binomiales. Se amplió $\log m!$ guardar correctamente el asintótica término de error $o(1)$, pero no hacer lo mismo para $n!/(n-m)!$, que no es realmente correcto.

Sobre todo que usted necesita para mantener probando diferentes asintótica formas para $m$; si $m=o(n^\gamma)$ por cada $\gamma>0$, la siguiente cosa a probar es siempre algún poder de $\log n$.

También, es incorrecto escribir $$ \text{anything} \sim 0, $$ debido a que la definición de $f(x)\sim g(x)$$\lim_{x\to\infty}f(x)/g(x)=1$. El líder asintótica término se obtiene a partir de $$ \text{something} \sim m^3/(\log m)^{10},$$ pero incluso después de que el líder término se encuentra, el exponente no será asintóticamente constante, debido a la menor términos, así que esperaba que el exponente de a $\sim 0$ es malo.

En primer lugar, porque $n$ es grande, podemos ignorar la manera en que $m$ es restringidas a enteros positivos, y en lugar de considerar la ecuación $$ {n\choose m}e^{-m^3/\log^{10} m} = 1 $$ con el real $m$$n$. Tomando el logaritmo de la misma, obtenemos $$ \log\Gamma(n)-\log\Gamma(m)-\log\Gamma(n-m) = f(m), $$ donde $f(m) = m^3/\log^{10}m$. Ampliar el uso de Stirling la fórmula, y la simplificación da la siguiente ecuación que debe ser satisfecha por $m$: $$ m\log(n/m) + O(m^2/n+m) = f(m). $$

A continuación, proceder por ensayo y error. En primer lugar, escriba $m\sim \rho n^\gamma$, $0<\gamma<\frac12$: $$ (1-\gamma)\rho n^\gamma\log n + O(n^\gamma+n^{2\gamma-1}) \sim n^{3\gamma}/\log^{10} n. $$ Es evidente que esto no puede ser resuelto (como usted dice), porque requiere $\gamma=3\gamma$, $\gamma=0$, y empezamos con $\gamma>0$.

Así, después de algunos intentos, se trate de la forma $m\sim\rho (\log n)^\beta (\log\log n)^\delta$, lo que da $$ \rho (\log n)^{\beta+1}(\log\log n)^\delta \sim \frac{\rho^3 (\log n)^{3\beta} (\log\log n)^{3\delta}} { (\beta \log \log n)^{10} }, $$ que pueden ser resueltos por las incógnitas.