Aquí es un enfoque diferente de la que en el enlace de la respuesta: creo $2$-adically. Desde $(1+\sqrt{-2})^4 = 1 + (-8-4\sqrt{-2}) = 1 + \gamma$,$|\gamma|_2 = 1/(4\sqrt{2}) < 1/2$, podemos ver $a_m$ $2$- ádico de la analítica de la función de la fijación de $m \bmod 4$: recoger $r \in \{0,1,2,3\}$ y la escritura $m = 4q+r$ donde $q$ se ejecuta a través de los números naturales, la secuencia de $f_r(q) = a_{4q+r}$ $r$ fijo pueden ser interpolados a partir de números enteros no negativos $q$ $2$-ádico enteros $x$, dando un $2$-ádico de la analítica de la función$f_r$$\mathbf Z_2$:
$$
f_r(x) = \frac{(1+\sqrt{-2})^r(1+\gamma)^x + (1-\sqrt{-2})^r(1+\overline{\gamma})^x}{2},
$$
donde $\overline{\gamma} = -8+4\sqrt{-2}$ es el conjugado de a $\gamma$ (mismo $2$-ádico valor absoluto). Esto es $2$-ádico de la analítica en $x$ porque en la $2$-adics podemos escribir $c^x = \exp((\log c)x)$ al $|c - 1|_2 < 1/2$ y, a continuación, expanda la función exponencial como una potencia de la serie en $x$. Tendría que utilizar $c = 1+\gamma$$c = 1+\overline{\gamma}$. Aquí $c \not\in \mathbf Q_2$, pero en un número finito de extensión de $\mathbf Q_2(\sqrt{-2})$. Los coeficientes de $f_r(x)$ se encuentran en el campo $K = \mathbf Q_2(\sqrt{-2})$, lo que ha anillo de enteros $\mathcal O_K = {\mathbf Z}_2[\sqrt{-2}]$.
A ver con qué frecuencia $a_m = 1$ o $a_m = -1$, podemos tratar de ver más generalmente con qué frecuencia $f_r(x) = 1$ o $f_r(x) = -1$ (escrito $m$ $4x + r$ $r$ fijo y $x$ corriendo a través de las $\mathbf Z_2$) y la esperanza de que el límite en el número de $2$-ádico entero de soluciones de $x$ para cada ecuación ya está explicada por el número de conocidos entero soluciones de las ecuaciones originales $a_m = 1$$a_m = -1$. Antes de hacerlo, sin embargo, quiero señalar por qué $p$-ádico análisis de al menos nos dice algo cualitativo: para cualquier entero $c$ la ecuación de $a_m = c$ está satisfecho por sólo un número finito de $m$. De hecho, debido a que un no constante $p$-ádico de la analítica de la función en $\mathbf Z_p$ (o en cualquier disco de $\{|x|_p \leq r\}$ cualquier $p$-ádico de campo) asume cualquier valor particular sólo un número finito de veces (este es un análogo de un no constante holomorphic función de un disco en $\mathbf C$ tomar cualquier valor particular sólo un número finito de veces), las cuatro ecuaciones $f_0(x) = c$, $f_1(x) = c$, $f_2(x) = c$, y $f_3(x) = c$ cada uno tiene un número finito de soluciones de $x$$\mathbf Z_2$, y por lo tanto la ecuación de $a_m = c$ mantiene por un número finito de enteros $m \geq 0$. Por lo tanto, en los números reales, $|a_m| \rightarrow \infty$ $m \rightarrow \infty$ porque $|a_m|$ es un número entero que tiene valor sólo un número finito de veces. Así mediante el uso de $2$-ádico análisis podemos llegar a una conclusión sobre el comportamiento de los $a_m$ como un número real. :)
El OP adivinar a partir de los datos que $a_m = 1$ sólo al $m = 0, 1$, e $5$, e $a_m = -1$ sólo al $m = 2$. Por escritura $m = 4q+r$ y la sustitución de $q$ $2$- ádico variable de tipo entero $x$, la conjetura sería cierto si la única $2$-ádico entero solución de $f_0(x) = 1$ $x = 0$ (corr. a $a_0 = 1$), de $f_1(x) = 1$ $x = 0$ $x = 1$ (corr. a$a_1 = 1$$a_5 = 1$), de $f_2(x) = -1$ $x = 0$ (corr. a $a_2 = -1$), y si las ecuaciones $f_0(x) = -1$, $f_1(x) = -1$, $f_2(x) = 1$, y $f_3(x) = \pm 1$ no $2$-ádico entero de soluciones.
No hay un método estándar para acotar el número de veces que un no constante $p$-ádico de alimentación de la serie se desvanece, llamado Strassman del teorema: si $f(x) = \sum_{n \geq 0} a_nx^n$ es un no constante de potencia de la serie con coeficientes en un $p$-ádico de campo y los coeficientes tienden a $0$, pero no son todos los $0$, entonces el número de $p$-ádico soluciones a $f(x) = 0$ satisfacción $|x|_p \leq 1$ es en la mayoría de los $N$ donde $N$ es elegido como la posición más lejana a salir en la serie, donde un coeficiente de valor absoluto máximo se produce, es decir, $|a_N|_p = \max |a_n|_p$ $N$ es tan grande como sea posible. (Hay un máximo de $N$ ya que los coeficientes tienden a $0$ y no todos los $0$.) Queremos aplicar Strassman del teorema de la serie $f(x) = f_r(x) - 1$ $f(x) = f_r(x) + 1$ con coeficientes en $K = \mathbf Q_2(\sqrt{-2})$.
En la práctica Strassman enlazado a menudo funciona muy bien, en el sentido de que el límite superior que se obtiene es el número de soluciones que usted ya conoce, pero estrictamente hablando, no existe ninguna garantía de que el $p$-ádico de alimentación de la serie no podía desaparecer en un $p$-ádico entero que no es un número entero. Si esto ocurre, el Strassman obligado no le permiten saber para asegurarse de que usted haya encontrado todos los enteros soluciones ya. Por ejemplo, si se espera que un $p$-ádico de alimentación de la serie se desvanece en un entero no negativo y Strassman enlazado es de dos, tendría que descartar la posibilidad de que un segundo cero en el $p$-ádico números enteros es un número entero no negativo.
Afortunadamente para nosotros, Strassman destinado para el problema particular que estamos viendo no deja lugar a soluciones inesperadas. Para cada una de las $r \in \{0,1,2,3\}$, he comprobado con Strassman es inevitable que el número de $2$-ádico de soluciones de $x$ $f_r(x) - 1 = 0$ $f_r(x) + 1 = 0$ $|x|_2 \leq 1$ya está explicada por la conocida entero apariciones de $a_m = 1$$a_m = -1$:
1) el más grande (en el $2$-ádico sentido) coeficiente de $f_0(x) - 1$ es sólo en el término lineal, por lo $f_0(x) = 1$ tiene más de uno $\mathbf Z_2$-solución.
2) el mayor coeficiente de $f_1(x) - 1$ se produce en el lineal y cuadrática términos, por lo que la ecuación de $f_1(x) = 1$ tiene más de dos $\mathbf Z_2$-soluciones.
3) el mayor coeficiente de $f_2(x) + 1$ es sólo en el término lineal, por lo que
$f_2(x) = -1$ tiene más de uno $\mathbf Z_2$-solución.
4) el más grande de los coeficientes de $f_0(x) + 1$, $f_1(x) + 1$, $f_2(x) - 1$, y $f_3(x) \pm 1$ son todos sólo en los términos constantes, por lo que las ecuaciones $f_0(x) = -1$, $f_1(x) = -1$, $f_2(x) = 1$, y $f_3(x) = \pm 1$ no $2$-ádico entero de soluciones.
Calcular el $2$-ádico de los valores absolutos de los coeficientes de estas centrales de la serie (bueno, llegar decente límites superiores en ellos en general, y, a continuación, informática exactamente el $2$-ádico valor absoluto de la primera pareja de coeficientes) para aplicar Strassman del teorema requiere de varias páginas, así que tengo que omitir los detalles. Pero lo que realmente hace todo el trabajo!
