Un gran "más pequeño" número

Question

¿Cuál es el menor número natural $N$ tal que el movimiento del último dígito de la parte delantera se obtiene el número de $9N$? En otras palabras, encontrar el mínimo de $N$ que si $N$ tiene decimal de expansión $abc...xyz$, $9N$ tiene decimal de expansión $zabc...xy$. (Nota: el número de pedido es muy grande!).

SUGERENCIA: Para resolver esta pregunta, he calculado las potencias de $10$ modulo $89$ para el que he utilizado sólo $89k$ $k = 1, 2, 3,...,9$ (lo siento por la mala inglés).

Otra pregunta relacionada con la inspiración, a partir de esto se ha pedido aquí.

Answer 1

Esto en respuesta a la formulación original de la pregunta, de dónde realiza la operación fue cambiar el primer dígito con el último dígito, en lugar de mover el último dígito para el primer lugar, mientras que la rotación de la serie.

No hay tal $N$ existe. Deje $a$ ser el primer dígito de $N$, $b$ el último dígito de la $N$. Exigimos que $N + b · 10^n - a · 10^n + a - b = 9N$ donde $n + 1$ es la longitud de $N$. Tenemos $(b - a)(10^n - 1) = 8N$. Desde $a, b ∈ \{1, …, 9\}$, tenemos $b - a = 8$, $b = 9$, $a = 1$ y $N = 10^n - 1$, que es un ello.

Answer 2

Claramente, el primer dígito tiene que ser $1$ y la última tiene que ser $9$. Entonces tenemos $$ 9N=\frac{N-9}{10}+10^k\cdot 9 $$ donde $N$ $m=k+1$ dígitos como un total. La solución para $N$, esto lleva a la $$ N=\frac{9(10^m-1)}{89} $$ y desde $10$ orden $44$ modulo el primer $89$ tenemos soluciones para $m=44s$, es decir. $$ N=\frac{9(10^{44s}-1)}{89} $$ que para $s=1$ rendimientos $$ N=\color{blue}{1011235955056179775280898876404494382022471}\color{rojo}9 $$ que ha $$ 9N=\color{rojo}9\color{blue}{1011235955056179775280898876404494382022471} $$ como se desee.

Answer 3

No hay tal $N$ existe. El primer y el último dígito de $N$$1,9$, respectivamente.

$$9\cdot \overline{1a_1a_2\ldots a_n 9}=\overline{9a_1a_2\ldots a_n 1}\iff 8\cdot \overline{a_1a_2\ldots a_n 0}=-80$$

Pero $\overline{a_1a_2\ldots a_n 0}>0$, imposible.

Answer 4

Deje $a \neq 0$ ser el primer dígito, $x \ge 0$ ser la parte del medio (con $L$ dígitos), y $b$ ser el último dígito. Entonces $$ N = 10^{L+1} + 10x + b, $$ y tenemos que tener $$ 10^{L+1}b + 10x + a = 9N = 9\cdot 10^{L+1} + 90x + 9b, $$ o $$ 80x = (10^{L+1} - 9)b - (9\cdot 10^{L+1} - 1). $$ A menos $b=9$$a=1$, el lado derecho es negativo; por lo tanto necesitamos $$ 80x = (10^{L+1} - 9)\cdot 9 - (9 \cdot 10^{L+1} - 1) = -80, $$ lo cual es imposible.