Deje $q$ ser algunos de potencia principal. Hay una explícita de la familia de polinomios irreducibles en $F_q[X]$ de la forma $\sum_j a_j X^{q^j - 1}$? Gracias!
Respuesta
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La pregunta es irreductible polinomios de la forma $F(x)/x\in \mathbb{F}_q[x]$ tal que $F(x)$ $q$-lineal polinomial, es decir, de la forma $$ F(x)=a_0x+a_1x^q+a_2x^{p^2}+\cdots a_kx^{q^k}. $$ Aquí el polinomio $$ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots a_kx^k $$ es conocido como el convencional $q$-asociado de $F(x)$. Del mismo modo $F(x)$ se llama el linealizado $q$-asociado de $f(x)$.
Véase la sección 4 del Capítulo 3 en Lidl & Niederreiter para una información más completa sobre linealizado polinomios y su álgebra. Los siguientes dos resultados desde allí parecen ser relevantes para esta pregunta.
1: Para $F(x)/x$ a ser irreductible, es necesario que el $f(x)$ es irreductible, de lo contrario la linealizado $q$-asociado de un factor de $f(x)$ será un factor de $F(x)$.
2: Teorema de 3.63 [loc.cit.] dice que cuando $f(x)$ es irreducible, entonces cada factor irreducible de $F(x)/x$ es de grado $e$ donde $e$ es el orden de $f(x)$, es decir, el entero más pequeño $e$ con la propiedad $f(x)\mid x^e-1$ (=el orden de la coset de $x$ en el cociente de campo $\mathbb{F}_q[x]/\langle f(x)\rangle$.
A partir de estos dos bits vemos enseguida $F(x)/x$ es irreductible, iff $f(x)$ orden $q^k-1$. En otras palabras, el iff $f(x)$ es un polinomio primitivo (= el polinomio mínimo de un generador del grupo multiplicativo de a $\mathbb{F}_{q^k}$).
Por desgracia, yo no sé de ningún explícita a las familias de polinomios primitivos. Puede ser en algún lugar hay un poco? Supongo que es una mala noticia para ti :-(
Cuando necesito un polinomio primitivo, voy a buscar a alguien de una tabla. En mi caso, normalmente, a continuación, ha $q=2$, y esta tabla es muy útil.
Lo siento que no te puedo ayudar más en este momento.
